JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: Χάραξη δρόμων



(nil): Vaggelis Kapoulas (kapoulas(@)cti.gr)
Ημερομηνία: Fri 12 Nov 1999 - 12:23:58 EET

Γειά και χαρά,

Με ΤΡΟΜΕΡΗ καθυστέρηση ανακοινώνω τη λύση για το πρόβλημα της
χάραξης των δρόμων. Αλλά πρώτα ας θυνηθούμε το πρόβλημα:

Vaggelis Kapoulas wrote:
>
> Υπάρχουν τέσσερα χωριά Α, Β, Γ και Δ που βρίσκονται γεωγραφικά
> τοποθετημένα στις γωνίες ενός υποθετικού τετραγώνου. Δηλαδή
> κάπως έτσι:
>
> Α Β
>
> Γ Δ
>
> Σας έχουν αναθέσει την κατασκευή δρόμων, έτσι ώστε οι κάτοικοι
> του κάθε χωριού να μπορούν να μεταβούν σε οποιοδήποτε άλλο
> χωριό.
>
> Πως θα χαράξετε τους δρόμους έτσι ώστε να μειώσετε το συνολικό
> τους μήκος (και τα αντίστοιχα κόστη) για να μεγιστοποιήσετε τα
> κέρδη σας;
>
> Φιλικά,
>
> Βαγγέλης Καπούλας
>
> ΥΓ. Υποθέστε οτι τα χωριά βρίσκονται σε επίπεδη περιοχή.

Σχεδόν όλοι αρχικά απάντησαν οτι λύση είναι η χάραξη των δύο
διαγωνίων. Ομως υπάρχει και καλύτερη λύση. Η λύση αυτή είναι
κάπως έτσι:

      Α ο ο Β
         \ /
          \ /
         Ε >---< Ζ
          / \
         / \
      Γ ο ο Δ

Οι γωνίες ΓΑΕ, ΑΓΕ, ΔΒΖ και ΒΔΖ είναι 30 μοίρες. Οι γωνίες
ΑΕΓ και ΒΖΔ είναι 120 μοίρες.

Η απόσταση από το σημειο Ε μέχρι το μέσο του ΑΓ είναι το
μισό του ΑΕ. Για να το καταλάβετε αυτό προκτείνετε τη γραμμή
ΖΕ μέχρι σημείου Θ, ώστε το μήκος ΕΘ να είναι ίσο με ΑΕ. Το
τρίγωνο ΑΕΘ είναι ισόπλευρο (ΑΕ = ΕΘ και ΑΕΘ = 60 μοίρες). Η
γραμμή ΑΓ είναι κάθετη στο ΕΘ και επειδη το τρίγωνο ΑΕΘ είναι
ισόπλευρο την τέμνει στο μέσο της ΕΘ, ΟΕΔ.

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε οτι το μήκος
ΑΕ (αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α) είναι α/sqrt(3) =
α*sqrt(3)/3. Το ίδιο ισχύει και για τα μήκη ΓΕ, ΒΖ και ΔΖ.

Το μήκος ΕΖ είναι α-2*(ΑΕ/2) = α-ΑΕ = α-α*sqrt(3)/3 =

Το συνολικό μήκος είναι 4*α*sqrt(3)/3 + α-α*sqrt(3)/3 =
= 3*α*sqrt(3)/3 + α = α*sqrt(3) + α = α*(1+sqrt(3))
Αυτό είναι περίπου ίσο με: α*2,7320508075688772935274463415059

Σωστές λύσεις έδωσαν οι:

* Harry T. Vergos <vergos(@)cti.gr> (Δεν έδωσε ανάλυση αλλά
  το σωστό αποτέλεσμα στρογγυλοποιημένο.)

* M. N. Korbas <korbas(@)vol.forthnet.gr> (Δεν έδωσε τη
  βέλτιστη λύση αλλά μία που είναι πολύ κοντά. Εθεσε την
  ΕΖ ίση με α/2 και οι γωνίες βγαίνου λίγο διαφορετικές.
  Το συνολικό μήκος είναι α*(1/2 + sqrt(5)) περίπου ίσο
  με α*2,7360679774997896964091736687313. Επειδή η βασική
  ιδέα ήταν η ίδια και το αποτέλεσμα πολύ κοντά στη βέλτιστη
  λύση θεωρώ την απάντηση σωστή.)

* Chris Georgiou <cv94063(@)central.ntua.gr> (Περιέγραψε σωστά
  τη λύση αλλά από κάποιο λάθος στον υπολογισμό του συνολικού
  μήκους έδωσε λάθος αποτέλεσμα. Βέβαια, ένα απλό αριθμητικό
  λάθος δεν μπορεί να τον αφήσει έξω από τη λίστα αυτών που
  απάντησαν σωστά.)

Πριν σας αφήσω θα ήθελα να ζητήσω συγγνώμη για την μεγάλη
καθυστέρηση αλλά δυστυχώς δεν είχα το χρόνο να το κάνω
νωρίτερα. Για μένα η λίστα αυτή είναι (ένα πολύ καλό)
hobby, αλλά ως hobby παίρνει χρόνο μόνο από τον διαθέσιμο
(όταν έχω). Χρωστάω και απαντήσεις σε άλλα quiz. Ελπίζω
αρχές της άλλης εβδομάδας να κλείσω τις εκκρεμότητες αυτές.

Φιλικά,

Βαγγέλης

______________________________________________________________________

 Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές ... και άλλα ...
 Πληροφορίες --> https://anekdota.duckdns.org/quiz_list.html
______________________________________________________________________


Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου