JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: (ΛΥΣΗ) Τεμαχισμός ορθογώνιου τριγώνου σε οξυγώνια τρίγωνα



(nil): Vaggelis Kapoulas (kapoulas(@)cti.gr)
Ημερομηνία: Mon 29 Oct 2001 - 13:28:38 EET

Γεια και χαρά,

Ο τεμαχισμός του ορθογωνίου τριγώνου σε οξυγώνια τρίγωνα
μπορεί να γίνει ως εξής:

(σχέδιο σε ascii - δείτε το με font που όλοι οι χαρακτήρες
έχουν το ίδιο πλάτος)

|'-,
| \ '-,
|C | C '-,
| \ F,'-,
| |,-'E| '-,
|F ,-'\ | K '-,
|,'E | | '-,
| '-, D\D \ L '-,
| K '-, | | M ,,--''/'-,
| '-\|,,--'' H| J '-,
| N /'--,,G / '-,
| _/ \ ''-,,| '-,
| / P \G |'--, '-,
| _/ \ / ''--,, B '-,
| A / \ | ''--,, '-,
| _/ A L \ H| J B '''--,,,'-,
|/_______________\/___________________________''-'-.

Ο τεμαχισμός (σε 7 οξυγώνια τρίγωνα) φαίνεται αν αγνοήσει κανείς
τις διχοτόμους από τις δύο οξείες γωνίες.

Το σημείο στο κέντρο είναι το σημείο που ενώνονται οι διχοτόμοι
των γωνιών. Η γωνία στα δεξιά του σχεδίου είναι η μικρότερη από
τις δύο οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου. Τα άλλα σημεία
διαλέγονται έτσι ώστε οι γωνίες να είναι:
A = 45
B = φ
C = 45-φ
D = 30
E = 60
F = 45+φ
G = 45-(φ/2)
H = 45+(φ/2)
J = 90-φ
K = 75-φ
L = 45+(φ/2)
M = 60+(φ/2)
N = 60+φ
P = 90-(φ/2)

Αφού η γωνία δεξιά είναι η μικρότερη από τις δύο οξείες γωνίες
τότε 2φ <= 45 ==> φ <= 22.5, και επομένως όλες οι γωνίες των
τριγώνων στα οποία τεμαχίζεται το αρχικό τρίγωνο είναι οξείες.

Μία άλλη κατασκευή (που πρότεινε και ο <korbas(@)vol.forthnet.gr>)
είναι να βρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο στο ορθογώνιο τρίγωνο. Στη
συνέχεια τεμαχίζουμε τα δύο ισοσκελή τρίγωνα που έχουν κορυφές τις
οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου και οι βάσεις τους εφάπτονται
στον κύκλο. Μας απομένει ένα πεντάγωνο. Αυτό το τεμαχίζουμε σε πέντε
τρίγωνα με κορυφή το κέντρο του κύκλου και βάσεις τις πλευρές του
πενταγώνου. Το αποτέλεσμα είναι ένας παρόμοιος τεμαχισμός με τον
παραπάνω. Για την ακρίβεια, το σημείο που ενώνονται οι διχοτόμοι
των γωνιών είναι και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ετσι η
διαφορά των δύο μεθόδων (αν υπάρχει) θα είναι μικρή. Πάντως για
αυτή τη μέθοδο δεν έχω απόδειξη οτι δίνει πάντα σωστό τεμαχισμό
και αυτή τη στιγμή δεν προλαβαίνω να το ψάξω.

Σωστούς τεμαχισμούς έδωσαν οι
    "Korbas" <korbas(@)vol.forthnet.gr>
και
    "Valia M." <bactiridio(@)hotmail.com>

Απόδειξη οτι τεμαχισμός δεν γίνεται σε λιγότερα από 7 οξυγώνια
τρίγωνα δεν έδωσε κανείς.

Η απόδειξη αυτή έχει ως εξής:

Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο που
είναι κορυφή σε ένα τεμάχιο που προκύπτει. Αλλιώς κάθε γραμμή
που φέρουμε για τεμαχίσουμε μια ορθή ή αβλεία γωνία σε δύο
οξείες γωνίες τέμνει μία πλευρά και δημιουργεί είτε δύο νέες
ορθές είτε μία νέα οξεία και μία νέα αμβλεία γωνία. Αφού ξεκινάμε
με μία οργή γωνία αυτό σημαίνει οτι πάντα θα έχουμε μία γωνάι που
δεν είναι οξεία και επομένως δεν θα επιτύχουμε ποτέ τον ζητούμνο
τεμαχισμό.

Από αυτό το εσωτερικό σημείο, ξεκινάνε τουλάχιστον πέντε γραμμές.
Αλλιώς θα υπήρχε μία τουλάχιστον γωνία με κορυφή αυτό το σημείο
που δεν θα ήταν οξεία. Επομένως, υπάρχουν πέντε τουλάχιστον
τρίγωνα με κορυφή το εσωτερικό σημείο.

Από τις γραμμές που ξεκινούν από το εσωτερικό σημείο, σε ένα
σωστό και βέλτιστο τεμαχισμό, δεν είναι δυνατόν τρεις από αυτές
να καταλήγουν στην ίδια πλευρά του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου
(περιλαμβανομένων των κορυφών) γιατί τότε ένα τουλάχιστον από
τα δύο τρίγωνα που θα δημιουργούνταν δεν θα ήταν οξυγώνιο (και
άρα ή ο τεμαχισμός θα ήταν λάθος ή δεν θα ήταν βέλτιστος γιατί
το τρίγωνο αυτό θα έπρεπε να τεμαχιστεί σε τουλάχιστον όσα
τρίγωνα θα έδινε ο βέλτιστος τεμαχισμός για το αρχικό πρόβλημα).

Επομένως, αν τρεις από αυτές τις πέντε γραμμές καταλήγαν στις
κορυφές του αρχικού τριγώνου τότε οι δύο άλλες γραμμές δεν θα
μπορούσαν να καταλήγουν σε καμμία πλευρά. Επίσης, αν δύο από τις
γραμμές καταλήγαν σε κορυφές του αρχικού τριγώνου τότε καμμία
από τις άλλες τρείς δεν θα μπορούσε να καταλήγει στην πλευρά που
ενώνει τις δύο αυτές κορυφές, ενώ μόνο από μία γραμμή θα μπορούσε
να καταλήγει σε κάθε μία από τις άλλες πλευρές.

Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις τουλάχιστον μία γραμμή θα
έπρεπε να καταλήγει σε ένα άλλο δεύτερο εσωτερικό σημείο. Αυτό
όμως σημαίνει πως αυτό το δεύτερο σημείο θα ήταν κορυφή για πέντε
τουλάχιστον τρίγωνα, από τα οποία μόνο δύο μπορεί να είναι ίδια
με τα πέντε τρίγωνα που έχουν κορυφή το πρώτο εσωτερικό σημείο.
Επομένως ένας τέτοιος τεμαχισμός θα έδινε τουλάχιστον 8 τρίγωνα.

Αρα σε ένα βέλτιστο τεμαχισμό, από τις πέντε γραμμές που ξεκινούν
από το εσωτερικό σημείο το πολύ μία γραμμή καταλήγει σε κορυφή
του αρχικού τριγώνου. Αυτό όμως σημαίνει πως οι δύο άλλες κορυφές
δεν ανήκουν σε κανένα από τα πέντε προαναφερθέντα τρίγωνα.
Υπάρχουν, λοιπόν, τουλάχιστον άλλα δύο τρίγωνα. Επομένως ένας
βέλτιστος τεμαχισμός έχει τουλάχιστον 7 οξυγώνια τρίγωνα.

Φιλικά,

Βαγγέλης

Vaggelis Kapoulas wrote:
>
> Γεια και χαρά,
>
> Το παρακάτω πρόβλημα είναι του J.A.H. Hunter:
>
> Εχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ποιος είναι ο μικρότερος
> αριθμός κομματιών στα οποία μπορούμε να το τεμαχίσουμε,
> αν κάθε κομμάτι πρέπει να είναι οξυγώνιο τρίγωνο (δηλαδή,
> με κάθε γωνία μικρότερη των 90 μοιρών) και πως γίνεται ο
> σχετικός τεμαχισμός;
>
> Και για να το κάνουμε λίγο πιο δύσκολο, δώστε και την
> απόδειξη πως η απάντησή σας έχει τον ελάχιστο αριθμό
> κομματιών.
>
> Φιλικά,
>
> Βαγγέλης

______________________________________________________________________

 Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές ... και άλλα ...
 Πληροφορίες --> https://anekdota.duckdns.org/quiz_list.html
______________________________________________________________________


Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου