JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: [ΛΥΣΗ] Ζητείται δεκαψήφιος ...



(nil): Fanurgakis Manolis (mfano(@)freemail.gr)
Ημερομηνία: Fri 13 Jun 2003 - 00:07:41 EEST

On Thursday 05 June 2003 21:28, `moi' wrote:
> Ζητείται δεκαψήφιος αριθμός με τις εξής ιδιότητες:
>
> Το πρώτο από αριστερά ψηφίο είναι ο αριθμός των ψηφίων 0 που υπάρχουν
> στον ζητούμενο αριθμό. Το επόμενο ψηφίο είναι ο αριθμός των 1 κ.ο.κ.
> Το τελευταίο (πιο δεξιά) ψηφίο είναι ο αριθμός των ψηφίων 9 που
> υπάρχουν στον αριθμό.
>
> (Αν δηλαδή ο αριθμός ήταν τετραψήφιος θα ήταν ο 1.210: Ένα μηδενικό,
> δύο άσσοι, ένα δυάρι και μηδέν τριάρια.)
>
> Ζητούμε λοιπόν τα 10 ψηφία του αριθμού. Προφανώς ισχύει ότι το κάθε
> ψηφίο βρίσκεται μεταξύ 0 και 9. Επίσης, το άθροισμα των ψηφίων είναι
> 10.
>
> Γράψτε μαζί και το συλλογισμό που ακολουθήσατε.
>
> Ακολουθώντας ένα λογικό συλλογισμό βρήκα μια λύση. Δεν γνωρίζω αν
> υπάρχουν κι άλλες λύσεις, νομίζω πως όχι.
>
> Τα ... αποκαλυπτήρια την επόμενη Πέμπτη, 12 Ιουνίου.

Κατ' αρχάς το πρόβλημα έχει ξαναπεράσει από τη λίστα (αν και πριν
 αρκετό καιρό, στο τέλος του 1998)

https://anekdota.duckdns.org/quiz/0102.html

και ευχαριστώ τους Γιώργο Παπαργύρη και τη Μαρία Δρινιά που το
επεσήμαναν.

Η λύση είναι ο αριθμός 6.210.001.000 και είναι μοναδική.

Ο τρόπος που ακολούθησα εγώ ήταν αρκετά απλοϊκός: Δεν μπορούμε να
 έχουμε πολλά μεγάλα ψηφία γιατί π.χ. για κάθε εφτάρι πρέπει να
 υπάρχουν άλλα εφτά ψηφία και μας περιορίζει ότι το άθροισμα όλων των
 ψηφίων πρέπει να είναι δέκα.

Επίσης, για τον ίδιο λόγο, πρέπει να έχω πολλά μηδενικά.

Ψάχνοντας λίγο καταλήγω στη λύση. (Βλέποντας ότι δεν υφίσταται λύση με
εννιά μηδενικά, κοιτάω για οχτώ, για εφτά και καταλήγω στα 6).

Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν αρκετές και όλες σωστές.

Σωστά απάντησαν (ευελπιστώ ότι δεν ξέχασα κανέναν) οι:

"Nikolaos Beredimas"
Ζιώγας Ιωσήφ
"George Papargiris"
Skouteris Dimitris
"George Giaglis"
"Nikos_K"
"Zamponidis Arhontis"
"Mirela Dalla"
Vaggelis Kapoulas
B X
"stelios"
"Of dream and drama..."
theofanis gkountras
"tsamis evaggelos"
"Vassilios Papadopoulos"
"MARIA DRINIA"
Erik Melvin
haris nikolaidou
"Zamponidis Arhontis"
"Irene Papaeconomou"

Αρκετές από τις απαντήσεις είχαν πολύ ωραίες αναλύσεις, παραθέτω
 κάποιες από αυτές που μου άρεσαν ιδιαίτερα.

"Nikolaos Beredimas":
> Έστω ότι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο:
>
> λ0,λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6,λ7,λ8,λ9
>
> Βήμα 1ο:
> Προφανώς λ9=0, καθώς σε κάθε άλλη περίπτωση το άθροισμα θα ξεπερνάει
> το 10
> Αν π.χ. λ9=1 τότε λ1>=2, και προσθέτοντας το ένα 9άρι προκύπτει
> άθροισμα μεγαλύτερο του 10.
>
> Βήμα 2ο,3ο:
> Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι λ8=0, και λ7=0.
>
> Αν π.χ. λ8=1, τότε λ1>=2 και προστέθοντας το 8αρι προκύπτει άθροισμα
> μεγαλύτερο του 10
> Αν π.χ. λ7=1, τότε λ1>=2 και προστέθοντας το 7άρι προκύπτει άθροισμα
> 10, και ένας άσος ακόμα που υπάρχει προκύπτει άθροισμα τουλάχιστο 11.
>
> Άρα καταλήγουμε ότι λ7=λ8=λ9=0 και επομένως λ0 τουλάχιστο 3.
>
> Αν λ0=3 τότε πρέπει λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=7 χωρίς κανένας να είναι ίσος
> με μηδέν, δηλαδή προκύπτει η λύση (2,1,1,1,1,1), που όμως απορίπτεται
> καθώς προκύπτει λ1=5, όταν το 5 δεν είναι στις λύσεις.
>
> Αν λ0=4 τότε πρέπει λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=6 με έναν από αυτούς ίσο με
> μηδέν, δηλαδή η λύση (0,2,1,1,1,1) που όμως απορρίπτεται καθώς
> προκύπτει λ1=4, όταν το 4 δεν είναι στις λύσεις.
>
> Αν λ0=5 τότε πρέπει λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=5 με δύο από αυτούς ίσους με
> μηδέν, δηλαδή (0,0,2,1,1,1), που όμως απορρίπτεται καθώς προκύπτει
> λ1=3, όταν το 3 δεν είναι στις λύσεις.
>
> Αν λ0=6 τότε πρέπει λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=4 με τρεις από αυτούς ίσους με
> μηδέν, δηλαδή (0,0,0,2,1,1) λύση δεκτή με λ1=2, λ2=1, λ6=1, συνολικά
> λοιπόν με,
> λ0=6
> λ1=2
> λ2=1
> λ3=0
> λ4=0
> λ5=0
> λ6=1
> λ7=0
> λ8=0
> λ9=0
>
> Ακόμα είναι αδύνατον να είναι λ0=7 ή λ0=8 ή λ0=9 καθώς έχουμε δείξει
> ήδη ότι λ7=λ8=λ9=0 δηλαδή ότι τα ψηφία 7,8,9 δεν εμφανίζονται στον
> αριθμό μας.

Skouteris Dimitris:
> O ari0mos 0a prepei opwsdhpote na periexei toulaxiston ena mhdeniko,
> alliws 0a htan o 1111111111 pou profanws den einai.
>
> Poswn eidwn mh mhdenika yhfia periexei ;
>
> An periexei n eidwn mh mhdenika yhfia, tote 0a xreiastei n+1 mh
> mhdenika yhfia gia na perigrayei to plh0os tou ka0enos, mazi kai auto
> twn mhdenikwn. Epishs, to 9-n prepei na einai ena apo ta yhfia (afou
> einai to plh0os twn mhdenikwn).
>
> De mporei na periexei panw apo 4 eidwn mh mhdenika yhfia. Alliws to
> a0roisma twn yhfiwn 0a ginei toulaxiston 1+2+3+4+5=15>10.
>
> Alla oute kai 4 eidwn. Giati tote, opws eipame prin, 0a 0elame
> toulaxiston 5 mh mhdenika yhfia, kai to a0roisma tous 0a htan
> toulaxiston 1+1+2+3+4=11>10.
>
> 2 eidwn ; 0eloume 3 mh mhdenika yhfia, ena ek twn opoiwn einai to 7
> kai ta alla duo isa. Opote de mporoun na einai akeraioi. Atopo.
>
> Alla oute kai 1 eidous. Giati tote 0a 0elame 2 idia mh mhdenika
> yhfia, me a0roisma 10. Dhladh to 5. Dhladh o ari0mos mas 0a eprepe na
> exei 5 pentaria kai 5 mhdenika. Atopo.
>
> Ara exoume 3 eidwn mh mhdenika yhfia, tessera ton ari0mo kai ena apo
> auta einai to 6. De mporei na uparxei deutero e3ari, ara kapou
> uparxei to 1 gia na perigrayei oti uparxei mono ena e3ari. O monos
> ikanopoihtikos sunduasmos einai o (6,1,1,2), dhladh 6 mhdenika, 1
> e3ari, 2 monades kai 1 diplo.
>
> O ari0mos mas einai o :
>
> 6210001000 kai einai monadikos.

"George Giaglis":
> Εγώ βρήκα τον αριθμό 6210001000 που έχει 6 μηδενικά, 2 άσσους, 1
> δυάρι και 1 εξάρι.
> Η διαδικασία που ακολούθησα ήταν να ξεκινήσω από τον αριθμό
> 9000000001 και να προσπαθήσω βήμα βήμα να τον κάνω να ικανοποιήσει
> τους περιορισμούς του προβλήματος. Αν σ'ενδιαφέρουν τα διάφορα
> στάδια, ήταν 9000000001
> 8100000010
> 8200000010
> 7210000010
> 6210001000
>
> Παρότι δεν μπορώ να το αποδείξω, μου φαίνεται απίθανο να υπάρχουν και
> άλλες λύσεις. Οι δυνατοί συνδυασμοί είναι πραγματικά λίγοι (και
> ουσιαστικά περιορίζονται στα πρώτα 4-5 ψηφία)

Βασίλης Χάνης (aka B X):
> Διαισθητικά αλλά και λογικά πρέπει να υπάρχουν πολλά μηδενικά στον
> αριθμό, αλλιώς δεν γίνεται να τηρηθεί ο πριορισμός για το άθροισμα
> των ψηφίων.
>
> Ξεκινάμε λοιπόν με υποψήφιους αριθμούς για το πρώτο ψηφίο (που
> αντιστοιχεί στο πλήθος των 0). Έστω ν το συγκεκριμένο ψηφίο. Τότε το
> ψηφίου που αντιστοιχεί στο ν θα είναι 1.
>
> Αυτό, όμως, βάζει στο "χορό" και το δεύτερο ψηφίο του αριθμού (που
> αντιστοιχεί στο πλήθος των 1). Το συγκεκριμένο ψηφίο δεν μπορεί να
> έχει τιμή 1, γιατί τότε θα έχουμε δύο φορές το ψηφίο 1 στον αριθμό,
> αλλά την τιμή 1 στην αντίστοιχη θέση, που είναι λάθος.
>
> Έστω λοιπόν ότι το δεύτερο ψηφίο του αριθμού είναι 2. Τότε θέτοντας 1
> το τρίτο ψηφίο του αριθμού (που αντιστοιχεί στο πλήθος των 2) έχουμε
> αποδεκτή λύση της μορφής : ν21....1....
>
> Αρκεί λοιπόν να βρούμε το ν. Επείδη το άθροισμα των ψηίων πρέπει να
> είναι 10, έχουμε ν=6 και ο αριθμός είναι 6210001000.

"Vassilios Papadopoulos" (μας δίνει και μια γενικευση):
> Έστω α(0), α(1), α(2)...α(9) τα ψηφία του αριθμού.
> Ισχύει για κάθε i: 0<=α(i)<=9, α(i) φυσικός αριθμός
>
> Αν ξεκινήσουμε από τα πιο δεξιά ψηφία, α(9) ως α(6). Αυτά μπορεί να
> έχουν την τιμή 0 ή 1, γιατί αν έχουν μεγαλύτερη, τότε το άθροισμα των
> ψηφίων θα ξεπερνάει το 10. (Πχ αν α(9)=2 τότε υπάρχουν 2 εννιάρια,
> άρα το άθροισμα είναι >=18: άτοπο) (*ΒΛΕΠΕ ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΤΕΛΟΥΣ) Μάλιστα
> μόνο ένα από τα τέσσερα αυτά ψηφία μπορεί να είναι 1 και τα άλλα
> είναι 0, γιατί αλλιώς πάλι το άθροισμα ξεπερνάει το 10 (αν υπάρχει
> και 7άρι και 6άρι, τότε άθροισμα>=13: άτοπο). Επίσης το μόνο ψηφίο
> που θα μπορούσε να έχει τέτοιες τιμές (>6) είναι το πρώτο ή το
> δεύτερο από αριστερά (α0 ή α1), γιατί αλλιώς αν α2=6 => υπάρχουν 6
> δυάρια άρα άθροισμα>=12.
>
> Έστω α(9)=1. Τότε υπάρχει 1 εννιάρι και ένας άσσος (ώστε άθροισμα
> ψηφίων = 10), πχ 9000000001. Έτσι όμως μένουν 8 μηδενικά ψηφία, οπότε
> πρέπει α(0)=8. άτοπο.
> ΑΡΑ Α(9)=0
>
> Έστω τώρα ότι το α(8)=1. Τότε υπάρχει 1 8άρι, τουλάχιστον 1 άσσος (το
> α8) και για να βγει άθροισμα 10, πρέπει να υπάρχει και άλλος άσσος
> και τα 7 υπόλοιπα 0. Πάλι άτοπο, αφού το μόνο ψηφίο που θα μπορούσε
> να υπάρχει 8 φορές είναι το 0. (Αν υπήρχαν 7 άσσοι, τότε για κάθε
> άσσο θα υπήρχε από μία φορά και το νούμερο που δηλώνει η θέση του
> άσσου). ΑΡΑ Α(8)=0
>
> Ομοίως αν α(7)=1, πρέπει να υπάρχουν για να βγαίνει άθροισμα 10,
> - είτε 3 άσσοι, οπότε μένουν 6 μηδενικά και κανένας αριθμός δεν
> υπάρχει 7 φορές όπως θα δήλωνε το εφτάρι
> - είτε 1 άσσος και 1 δυάρι και 7 μηδενικά. Τότε όμως δεν υπάρχουν
> δύο ίδιοι αριθμοί (άρα το δυάρι δεν μπορεί να τοποθετηθεί) ΑΤΟΠΟ -
> ειτε 1 τριάρι και 8 μηδενικά. ΑΤΟΠΟ (Δεν υπάρχει αριθμός ούτε σε 8
> ούτε σε 3φορες)
> ΑΡΑ α(7)=0
>
> Έστω α(6)=1. Τότε ομοίως:
> - είτε 1 τεσσάρι και 8 μηδενικά ΑΤΟΠΟ.
> - είτε 2 δυάρια και 7 μηδενικά ΑΤΟΠΟ.
> - είτε 2 άσσοι, 1 δυάρι και 6 μηδενικά, κάτι που μπορεί να
> ισχύει. Αφού υπάρχουν δύο άσσοι=> α(1)=2, για τα δυάρια α(2)=1 και
> για τα μηδενικά α(0)=6. Δηλαδή ο αριθμός 6210001000 είναι ο
> ζητούμενος.
>
> *ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
> Το άθροισμα των ψηφίων μπορεί να γραφτεί ως Σi*α(i)=10 για i=0 ως 9
> Αυτό γιατί υπάρχουν α(0) μηδενικά, α(1) άσσοι, α(2) 2άρια ...α(9)
> 9άρια και γενικά α(i) i-άρια. Επειδή οι όροι του αθροίσματος είναι
> θετικοί ακέραιοι, άρα ο καθένας πρέπει να είναι<=10. Δηλαδή
> για κάθε i: i*α(i)<=10 <==> α(i)<=10/i (αν i<>0).
>
> Με βάση αυτόν το περιορισμό είναι εύκολο να γραφτεί πρόγραμμα που να
> λύνει αρκετά γρήγορα το γρίφο στη γενική του μορφή: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΑΡΙΘΜΟ Χ
> (0<Χ<=10) ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΕΝΑΣ Χ-ΨΗΦΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, ΠΟΥ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΨΗΦΙΩΝ
> ΤΟΥ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Χ ΚΑΙ ΤΟ Ν-ΟΣΤΟ ΨΗΦΙΟ ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΝΑ ΔΕΙΧΝΕΙ ΤΟΝ
> ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ (Ν-1) ΠΟΥ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΣΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ.
>
> Λύσεις υπάρχουν για Χ=4, 5, 7, 8, 9, 10
> 1210
> 21200
> 3211000
> 42101000
> 521001000
> 6210001000

Ο Γιώργος Παπαργύρης μας γράφει επίσης τα εξής: (τον ευχαριστώ πολύ που
έκατσε και έψαξε):

>[...] Αποδεικνύεται αλγευρικά ότι η λύση 6210001000 ότι είναι
> μοναδική. Το πιο ενδιαφέρον όμως είναι ότι το πρόβλημα γενικεύεται
> για άλλα συστήματα αρίθμησης. Φυσικά κάθε φορά το πλήθος των ψηφίων
> του αριθμού που ζητήται είναι ίσο με τη βάση του συστήματος αρίθμησης
> (πχ στο οκταδικό σύστημα ο αριθμός είναι οκταψήφιος).
>
> Ο Frank Rubin δημοσίευσε στο Journal of recreational mathematics του
> 1978-1979 μια απόδειξη για το ότι:
>
> Σε κάθε σύστημα αρίθμησης με βάση μεγαλύτερη του 6, ο αριθμός έχει τα
> εξής ψηφία:
>
> Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός που είναι κατά 4 μικρότερος από τή
> βάση του συστήματος αρίθμησης.
> Τα 2 επόμενα ψηφία είναι 21
> Ακολουθεί αριθμός μηδενικών κατα 7 μικρότερος από τη βάση του
> συστήματος αρίθμησης.
> Τα τελευταία 4 ψηφία είναι πάντα 1000.
>
> Όλα αυτά είναι παρμένα από το βιβλίο "Το τσίρκο των μαθηματικών" του
> Martin Gardner.

Μου άρεσε που είδα πολλές διαφορετικές συλλογιστικές.

Το πρόβλημα το διάβασα στο περιοδικό "Focus" του Ιουνίου.

Ευχαριστώ όλους για τη συμμετοχή σας.

Εύχομαι με όμοια επιτυχία να λύνετε και τους γρίφους/προβλήματα της
ζωής! (Χεχε, πετάξαμε και το ρομαντικό μας για κατακλείδα :-)

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου