JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: joker



(nil): theofanis gkountras (fanisg(@)yahoo.com)
Ημερομηνία: Wed 06 Apr 2005 - 02:14:20 EEST

Γεια σας

ηγκηκεν η ώρα να απαντηθει και το προβλημα του Τζοκερ.

θεωρώ δεδομένο ότι οποιος διαβάσει παρακάτω έχει πρώτα διαβάσει τις διευκρινίσεις που έχω στείλει.
είναι στην διεύθυνση:
https://anekdota.duckdns.org/quiz/1019.html

έχω ξεκαθαρίσει ότι η λύση δεν έχει να κάνει σε καμμία περίπτωση με μεταβολή του αναμενόμενου
πλήθους των επιτυχιών σε σχέση με των αριθμό των στηλών που παίζονται από τους παίκτες.
αυτό που πρέπει να εξηγηθεί είναι γιατί η διακύμνση που μετράμε στα αποτελέσματα είναι παράλογα
μεγάλη.

έχω δείξει έναν τρόπο υπολογισμού των διακυμάνσεων,
και όπως βλέπουμε αυτός ο τρόπος εδω αποτυγχάνει.
προφανώς λοιπον η απαντηση ειναι οτι αυτος ο τρόπος έχει κάποια προϋπόθεση που εδώ δεν ισχύει.
Η βασική προϋπόθεση είναι ότι τα πειράματα τύχης πρέπει να είναι στοχαστικώς ανεξάρτητα.
και πράγματι αυτή η προϋπόθεση εδώ δεν ισχύει.
(ας μην το ψάξετε στις άλλες προϋποθέσεις δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα αλλού)

νομίζω πως αυτό πρέπει πρώτα να το εξηγήσω κάπως αυτό το φαινόμενο.
ας πάρουμε πρώτα ένα ακραίο παράδειγμα ενός παππατζή που ανακατεύει τα τρία χαρτιά του και
προκαλεί τον κόσμο να μαντέψη "που είναι ο παππάς".
έστω ότι έχει απέναντί του τρείς παίκτες. κάθενας από τους τρείς παίκτες έχει 1/3 πιθανότητα να
κερδίσει.
ας υπολογίσουμε λίγο τις πιθανότητες.
ΕΣΤΩ ΠΟΝΤΑΡΟΥΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ
η πιθανότητα να κερδίσουν και οι τρείς είναι:
p(3) = (1/3)^3 = 1/27
η πιθανότητα να κερδίσουν οι δυο είναι:
p(2) = 3*(2/3)*(1/3)^2 = 2/9 = 6/27
η πιθανότητα να κερδίσει ο ένας είναι:
p(1) = 3*(1/3)*(2/3)^2 = 4/9 = 12/27
η πιθανότητα να μην κερδίσει κανεις είναι:
p(0) = (2/3)^3 = 8/27

μπορείτε να βεβαιώσετε ότι p(0)+p(1)+p(2)+p(3) = 1
οι μέσες νίκες είναι
μ = 0*p(0) + 1*p(1) + 2*p(2) + 3*p(3) = 1
δηλαδή κατα μέσο όρο ένας από τους τρείς κερδίζει (το οποίο είναι προφανές)
όπως βλέπουμε όμως συνήθως θα νικά 1 ή 2 ή κανένας και λίγες φορές θα νικάνε και οι τρείς.
(μόνο 1/27)

ωστόσω μπορεί οι παίκτες να είναι φίλοι και να μην ποντάρουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο.
ΕΣΤΩ ΠΟΝΤΑΡΟΥΝ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΧΑΡΤΙ
p(3) = 1/3
p(0) = 2/3
p(1) = p(2) = 0
ή και οι τρείς θα κερδίσουν ή κανένας από τους τρείς.
παρόλο που πάλι "κατα μέσον όρο ένας στους τρείς καρδίζει" ξέρουμε ότι αυτό αποκλείεται να συμβεί
και είναι ξεκάθαρο ότι η διασπορά είναι τώρα μεγαλύτερη.

τέλος μπορεί να σκεφτεί κάποιος και την περίπτωση να είναι εχθροί και να ποντάρουν σε διαφορετικά
χαρτιά.
τώρα είναι βέβαιο ότι ένας στους τρεις θα κερδίσει.
η διασπορά τωρα έχει μηδενιστεί.

αυτό το παράδειγμα ουσιαστικά έχει όλη την λογική του προβλήματος αλλά θα δώσω ακόμα ένα
παράδειγμα, αυτό της ρουλέτας ενός καζίνου.
μια ευρωπαϊκή ρουλέτα έχει 37 νούμερα (0-36)
είναι σχεδιασμένη έτσι ώστε να κρατάει πάντα το 1/37 όσων χρημάτων παίζει ο παίκτης, κατα μέσον
όρο.
δεν έχει καμμια σημασία του τρόπου που παίζει ο παίκτης, παντα κατα μεσον ορο χανει 1/37.
καποιος που δεν εχει καταλαβει καλά τις πιθανότητες αυτό το μεταφράζει σαν:
ολοι οι τροποι να παιξει καποιος ειναι ισοδυναμοι.
Αυτο είναι ΛΑΘΟΣ.

μπορουμε να σκεφτουμε μια ακραια περιπτωση που το λαθος γινεται εμφανες. εστω ο παικτης παιζει
ταυτοχρονως και στο μαυρο και στο κοκκινο.
εχει πιθαντοτητα 1/37 να χασει (το 0)
δεν εχει καμμια πιθανοτητα να κερδισει!
με δεδομενο οτι καποιος παιζει ρουλετα για την ελπιδα του κερδους, αυτός δεν είναι λογικός τρόπος
παιχνιδιού.

έστω για παραδειγμα παιζει καποιος 10000 ευρώ στην ρουλέτα και τα παίζει ένα-ένα.
κατα μεσον ορο θα χασει (1/37)*10000 ευρώ = 270 ευρω
αν πάιζει καθε φορα 1 ευρω σε ενα απλο νουμερο τότε η διακύμανση είναι σχεδον 600 ευρω.
αρα αν ειναι λιγο τυχερος θα βγει κερδιμενος.
αν παίζει καθε φορα 1 ευρω σε ενα χρώμα τότε η διακύμανση δεν ξεπερνα τα 140 ευρω.
δηλαδη ακομα με μεγαλη ευνοια της τυχης θα βρεθει να χανει 130 ευρω.

αν παιζει τα ευρω σε εκατονταδες και σε απλα νουμερα τότε έχει μόνο 100 πονταρίσματα να κανει.
αν φανει γκαντεμης μπορει να χασει και τις 100 φορες (δεν ειναι απιθανο)
αν όμως φανεί τυχερός μπορεί να του "κάτσει" αρκετες φορές και να βγει αρκετά κερδισμένος.

(μια ιδέα ειναι να μετραει καποιος την ελπιδα κερδους, οταν παζει μισο ευρώ στο κοκκινο και μισο
ευρώ στο μαυρο, η ελπιδα ειναι 0. όταν παιζει ενα ευρώ στο κόκκινο η ελπιδα είναι 18/37 ευρώ, όταν
παίζει ενα ευρώ στο 13 η ελπίδα είναι 35/37 ευρώ)

πισω στο τζοκερ.
θυμομαστε ότι τελικά αυτό που πρέπει να δειξουμε είναι ότι οι στήλες που πάιζονται από τους
παίκτες δεν είναι στοχαστικός ανεξάρτητες.
Αυτό μπορεί να οφείλεται σε δυο λόγους:
1
ο καθε παικτης δεν παιζει μονο μια στήλη αλλα πολές και αυτές οι στήλες δεν είναι ανεξάρτητες
μεταξύ τους.
πράγματι, όταν καποιος παιζει 5 νουμερα και 20 τζοκερ ειναι προφανες οτι εχει παιξει 20 στηλες που
σχετιζονται μεταξυ τους.
αν πιασει 3 νουμερα ξερει οτι θα πιασει 19 φορες την κατηγορια 3, περιμενουμε δηλαδη καπου 20
φορες μεγαλυτερη διακύμανση απο την αρχικα αναμενομενη.
απο την αλλη στην κατηγορια 2+1 αν την κερδισει, ξέρει πως μονο μια απο τις 20 στηλες την κερδισε.
αυτό σημαίνει ότι έχουμε καπου 20 φορές μικρότερη διακύμανση για αυτήν την κατηγορία.
ουσιαστικά έχουμε βρει έναν υπαιτιο.
μπορουμε να υποθεσουμε οτι το συνολο των διαφορων συστηματων που ακολουθουν οι παικτες θα εχει ως
τελικο αποτελεσμα μεγαλωμα των διακυμανσεων και αυτη ειναι μια σωστη παρατηρηση.
μπορει ομως αυτό να εξηγησει το φαινομενο αυτη και μονο η αιτία;
ειναι πολυ δυσκολο να το αποδειξω και για αυτο δεν θα το κανω αλλα η απαντηση ειναι οχι.
χρειαζομαστε και μια δευτερη συχνά σημαντικοτερη αιτια.
2
οι παικτες παρολο που δεν βρισκονται σε συνενοηση δεν παιζουν ανεξαρτητες στηλες!
αυτη ειναι και απαντηση που γυρευα να λαβω.
ακουγεται κουφο αλλα ετσι ειναι.
μελετη των αριθμων που παιζουν οι παικτες αποδεικνυει οτι υπαρχουν για παραδειγμα νουμερα που
ειναι δημοφιλη!
οι δημοφιλία των αριθμών μπορεί να προέρχεται απο απίθανους λόγους, πχ μπορεί μεγάλο πλήθος
επηρεασμενο απο τον θανατο του παπα να παιξει τον αριθμο 2 για τζοκερ επειδη ειναι παπας ιωαννης
παυλος ο δευτερος. μπορεί για απιθανους λογους γενικα να προτιμουνται καποιοι αριθμοι, δεν μπορει
κανεις ευκολα να προβλεψει τετοιες συμπεριφορες αλλα τελικα συμβαινουν. τωρα στο παραδειγμα μας αν
τυχει ο αριθμος 2 να πεσει (και αυτο εχει πιθανοτητα 1/20 δηλαδη αρκετα σημαντικη) θα βρεθει ενα
τεραστιο πληθος ανθρωπων να εχουν πιασει τον τζοκερ. αμεσως εχουν καταστραφει ολα τα προγνωστικα.

το ρεζουμε ειναι οτι οταν καθεστε και συμπληρωνετε ενα τζοκερ μονοι σας παρολο που κανεις δεν σας
βλεπει και κανεις δεν ξερει τι παιζετε αυτο που παιζετε ΔΕΝ ειναι ανεξαρτητο απο αυτο που παιζει
αυτος που καθεται διπλα σας (και παρολο που αγνοειται τι παιζει)

απάντησαν σωστά (περισι!) οι:
George Papargiris
Vaggelis Kapoulas

αξιομνημόνευτος είναι και ο:
Elias Chrysanthos

και ελπιζω να μην ξεχνω κανενα.

                
__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Personals - Better first dates. More second dates.
http://personals.yahoo.com

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου