JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: RE: Το δηλητηριασμένο κρασί (επαναφορά του γρίφου)



(nil): George Papargiris (gpapargi(@)hotmail.com)
Ημερομηνία: Tue 12 Jul 2005 - 14:47:47 EEST

Γεια χαρά σε όλους

Στέλνω την απάντηση (επιτέλους) στο πρόβλημα του δηλητηριασμένου κρασιού.

Η αρχική εκφώνηση βρίσκεται εδώ:
https://anekdota.duckdns.org/quiz/0990.html

Οι διευκρινήσεις που έδωσα βρίσκονται εδώ:
https://anekdota.duckdns.org/quiz/0993.html

Απάντηση

Το ελάχιστο πλήθος των δειγμάτων που θα πρέπει να αποσταλούν στο χημείο για
ανάλυση είναι 2. Ένας τρόπος να το πετύχουμε αυτό είναι ο εξής:

Χρησιμοποιώντας τη σύριγγα, τραβάμε από κάθε βαρέλι ποσότητα ίση με την
ελάχιστη υποδιαίρεση της σύριγγας (ας τη λέμε μονάδα όγκου). Έτσι το πρώτο
δείγμα μας θα περιέχει μια μονάδα όγκου από το πρώτο βαρέλι, μία από το
δεύτερο κλπ. Από αυτό το δείγμα μπορούμε να βρούμε την ακριβή ποσότητα
δηλητηρίου που υπάρχει στην μονάδα όγκου του δηλητηριασμένου κρασιού.

Στη συνέχεια παίρνουμε 1 μονάδα όγκου από το πρώτο βαρέλι, 2 από το δεύτερο,
3 από το τρίτο κλπ και φτιάχνουμε το δεύτερο δείγμα μας. Σε αυτό το δείγμα η
συνολική ποσότητα δηλητηρίου θα είναι προφανώς πολλαπλάσιο αυτής που βρήκαμε
στο προηγούμενο δείγμα αφού από κάθε βαρέλι πήραμε πολλαπλάσια ποσότητα
κρασιού από ότι πήραμε πριν. Βρίσκοντας πόσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα
δηλητηρίου στο δεύτερο από ότι στο πρώτο δείγμα καταλαβαίνουμε και από πιο
βαρέλι έχει προέλθει το δηλητήριο. Αυτός είναι ένας τρόπος να εντοπίσουμε το
βαρέλι που ζητάμε.

Αρκετοί πρότειναν λύση με ένα μόνο δείγμα. Συγκεκριμένα πρότειναν να πάρουμε
1 μονάδα όγκου από το πρώτο βαρέλι, 2 από το δεύτερο κλπ. Ο τρόπος αυτός
είναι λανθασμένος γιατί δε γνωρίζουμε τη συγκέντρωση του δηλητηρίου στο
κρασί. Έτσι το μόνο που θα βρούμε είναι κάποια ποσότητα δηλητηρίου χωρίς
όμως να μπορούμε να βρούμε από ποιο βαρέλι έχει προέλθει.

Αρκετοί επίσης πρότειναν το να πάρουμε αρχικά ένα δείγμα από τα 50 βαρέλια.
Έτσι θα βρούμε σε ποια πενηντάδα βαρελιών υπάρχει το δηλητήριο. Στη συνέχεια
παίρνουμε δείγμα από τα 25 από τα βαρέλια αυτής της 50δας. Με αυτό τον τρόπο
εντοπίζουμε σε ποια 25άδα βαρελιών είναι και το δηλητηριασμένο κρασί.
Συνεχίζοντας τη διαδικασία μειώνουμε κάθε φορά στο μισό το πλήθος των
ύποπτων βαρελιών ώσπου μετά από 7 βήματα φτάνουμε στο βαρέλι που ζητάμε.
Σωστό αλλά όχι βέλτιστο. Και αυτό γιατί δεν λαμβάνει υπόψη το ότι το δείγμα
εξετάζεται και ποσοτικά (δηλαδή πόσο δηλητήριο ακριβώς έχει) εκτός από
ποιοτικά (δηλαδή αν έχει ή όχι δηλητήριο).

Σωστά απάντησαν σε αυτό το ερώτημα οι:

Βαγγέλης Καπούλας
Φάνης Γκούντρας
Unknown Technologies
Ηλίας Χρύσανθος
Pak kar
Δημήτρης Ανθόπουλος
Drive North Disappear
Μανώλης Φανουργάκης
Παντελής Κουρελής
Μελέτης Κώνστας
Red rum

Τώρα πάμε στο δεύτερο ερώτημα που ζητάει να ελαχιστοποιηθεί η συνολική
ποσότητα του κρασιού που θα πάρουμε στα 2 δείγματα. Η ποσότητα μετριέται σε
μονάδες όγκου όπως τις ορίσαμε πριν (ελάχιστη υποδιαίρεση της σύριγγας).

Στη λύση που ανέφερα παραπάνω βρίσκουμε την ακριβή ποσότητα δηλητηρίου που
περιέχεται στη μονάδα όγκου. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι απαραίτητο αφού αυτό
που ζητείται είναι απλά το να εντοπιστεί το βαρέλι με το δηλητήριο και όχι η
ποσότητα δηλητηρίου που υπάρχει στη μονάδα όγκου. Μπορούμε λοιπόν να
θυσιάσουμε αυτή την πληροφορία για να ελαχιστοποιήσουμε τις μονάδες κρασιού
που καταστρέφονται.

Ουσιαστικά ζητάμε μια ιδιότητα (εκτός από την ακριβή ποσότητα δηλητηρίου στη
μονάδα όγκου) η οποία μπορεί να μας διαχωρίσει μεταξύ τους τα βαρέλια.
Η ιδιότητα αυτή είναι οι αναλογία δηλητηρίου που υπάρχει στα 2 δείγματα. Θα
πρέπει δηλαδή να πάρουμε τόσες μονάδες όγκου από κάθε βαρέλι για κάθε δείγμα
έτσι ώστε να καταλήγουμε σε διαφορετικές αναλογίες δηλητηρίου (στα 2
δείγματα) για διαφορετικά βαρέλια. Αφού λοιπόν έχουμε 128 βαρέλια θέλουμε
128 διαφορετικές αναλογίες. Προφανώς θα διαλέξουμε αυτές που έχουν το
μικρότερο άθροισμα αριθμητή και παρονομαστή.
Προσοχή όμως! Αν από κάποιο βαρέλι πάρουμε 1 μονάδα όγκου για το πρώτο
δείγμα και 2 για το δεύτερο, δε θα μπορούμε από κάποιο άλλον να πάρουμε 2
και 4 μονάδες όγκου αντίστοιχα γιατί οι αναλογίες θα πρέπει να είναι
διαφορετικές και η αναλογία 1 προς 2 έχει ήδη χρησιμοποιηθεί. Θα
χρησιμοποιήσουμε δηλαδή τα ανάγωγα κλάσματα (δηλαδή αυτά που δεν παίρνουν
απλοποίηση) για να κόψουμε τις επανεμφανίσεις κάποιας αναλογίας.

Άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις αναλογίες 1 προς 1, 1 προς 2, 2 προς 1,
1 προς 3, 3 προς 1, 2 προς 3, 3 προς 2 κλπ.
Δε θα χρησιμοποιηθεί το 2 προς 4, το 3 προς 6 κλπ. γιατί οδηγούν σε
αναλογίες που έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί.

Για ακόμα μικρότερη συνολική ποσότητα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη
μηδενική ποσότητα. Επειδή το μηδέν δεν μπορεί να μπει στον παρονομαστή είναι
πιο σωστό να μιλάμε για ζεύγη ποσοτήτων και όχι για αναλογίες.
Χρησιμοποιούμε λοιπόν και τα ζεύγη (0,0), (0,1) και (1,0).

Έτσι τελικά τα ζεύγη ποσοτήτων που παίρνουμε από κάθε βαρέλι είναι :
(0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2),. . . κλπ

Με τον τρόπο που περιέγραψα παραπάνω καταλήγουμε σε συνολική ποσότητα
κατεστραμμένου κρασιού 1706 μονάδες. Δεν αναφέρω όλα τα ζεύγη αλλά είναι
εύκολο να τα βρει κανείς καθώς και να κάνει τις πράξεις με το excel.

Σωστά απάντησαν στο δεύτερο ερώτημα οι:

Βαγγέλης Καπούλας
Φάνης Γκούντρας
Unknown technologies
Pak kar

Επίσης ο Δημήτρης Ανθόπουλος και ο Ηλίας Χρύσανθος έπιασαν σωστά το τρυκ με
τις αναλογίες αλλά δεν έφτασαν στη βέλτιστη λύση. Βρήκαν 1793 ο πρώτος και
1752 ο δεύτερος.
Ελπίζω να μην ξέχασα κάποιον.

Αν κάποιος σκεφτεί καλύτερη λύση από τις 1706 μονάδες όγκου ας μας το πει.

Ζητώ συγνώμη για τη μεγάλη καθυστέρηση μέχρι να δώσω απάντηση.

Φιλικά

Γιώργος

_________________________________________________________________
Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today it's FREE!
http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου