JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: RE: Το χρυσό στέμμα



(nil): George Papargiris (gpapargi(@)hotmail.com)
Ημερομηνία: Thu 04 May 2006 - 09:36:50 EEST

Καλημέρα

Στέλνω την απάντηση του γρίφου

Όπως ήδη αρκετοί κατάλαβαν ο πρώτος άνθρωπος που βρέθηκε αντιμέτωπος με αυτό
το πρόβλημα ήταν η μέγιστη διάνοια της αρχαιότητας, ο Αρχιμήδης ο
Συρακούσιος που έζησε περίπου από το 287 μέχρι το 212 πΧ.

Σύμφωνα με τη γνωστή ιστορία ο τύραννος των Συρακουσών Ιέρωνας, ζήτησε από
τον Αρχιμήδη να ελέγξει αν το στέμμα που παρέλαβε από τον χρυσοχόο ήταν από
ατόφιο χρυσάφι ή είχε γίνει νοθεία. Κάποια στιγμή που ο Αρχιμήδης μπήκε στο
μπάνιο του πρόσεξε ότι το όσο περισσότερο βυθιζόταν το σώμα του στο νερό,
τόσο περισσότερο νερό ξεχείλιζε. Έτσι σύλλαβε την έννοια της άνωσης, που του
έδωσε τη λύση στο πρόβλημα του στέμματος και βγήκε γυμνός στους δρόμους
φωνάζοντας «Εύρηκα».

Αυτά λίγο πολύ είναι γνωστά. Αλλά ας σταθούμε τώρα στη λύση του προβλήματος.

Οι περισσότεροι λύτες δίνουν την εξής απάντηση στο γρίφο:

Βυθίζουμε το στέμμα μέσα σε ένα δοχείο με νερό και μετράμε πόσο ανεβαίνει η
στάθμη του. Στη συνέχεια βυθίζουμε στο ίδιο δοχείο με νερό, μια ποσότητα
καθαρού χρυσού που έχει το ίδιο βάρος με το στέμμα. Αν η στάθμη ανέβει
λιγότερο από ότι ανέβηκε με το στέμμα τότε το στέμμα είναι νοθευμένο.
Διαφορετικά το στέμμα είναι από καθαρό χρυσάφι.

Μια παρόμοια λύση αποδίδει ο ρωμαίος αρχιτέκτονας Vitruvius στον Αρχιμήδη.
Σύμφωνα με αυτή την εκδοχή, ο Αρχιμήδης γέμισε ένα δοχείο μέχρι το χείλος
και βύθισε μέσα μια ποσότητα από ατόφιο χρυσάφι που είχε ίσο βάρος με το
στέμμα. Αυτό ανάγκασε το νερό να ξεχειλίσει. Στη συνέχεια έβγαλε το χρυσάφι
από το νερό και βύθισε το στέμμα στη θέση του. Αν το στέμμα ήταν νοθευμένο,
τότε ο όγκος του θα ήταν μεγαλύτερος από αυτόν του καθαρού χρυσού και έτσι ο
όγκος του νερού που εκτόπιζε θα ήταν μεγαλύτερος. Αν λοιπόν το νερό
ξεχείλιζε ξανά τότε το στέμμα θα είναι νοθευμένο.

Οι 2 αυτές λύσεις είναι παραπλήσιες γιατί βασίζονται και οι 2 στην
ογκομέτρηση. Δηλαδή ουσιαστικά μετράνε πόσο νερό θα εκτοπίσει το στέμμα και
πόσο το καθαρό χρυσάφι.

Μια λύση που βασίζεται στην ογκομέτρηση, παρότι θεωρητικά είναι σωστή, στην
πραγματικότητα έχει δεχτεί αρκετή κριτική διότι δεν είναι αρκετά ακριβής. Ο
Αρχιμήδης μέσα από τα γραπτά του μιας δείχνει καθαρά ότι η ιδιοφυία του
ξεπερνά κατά πολύ αυτήν που απαιτείται για να σκεφτεί κανείς την
ογκομέτρηση. Έτσι λοιπόν κάποιοι σύγχρονοι μελετητές του Αρχιμήδη του
αποδίδουν την παρακάτω κομψότατη και σαφώς ακριβέστερη λύση:

Βάζουμε σε μια ζυγαριά (παλάντζα) από τη μια μεριά το στέμμα και από την
άλλη μια ποσότητα καθαρού χρυσού έτσι ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει. Το
βάρος του στέμματος και του χρυσού στις 2 μεριές τις ζυγαριάς είναι ίδιο,
αλλά το στέμμα αν είναι νοθευμένο θα έχει λίγο μεγαλύτερο όγκο (κι ας μη
φαίνεται με το μάτι). Βυθίζουμε τη ζυγαριά μέσα στο νερό. Αν το στέμμα είναι
νοθευμένο τότε η ζυγαριά θα γύρει προς τη μεριά του χρυσού. Αυτό οφείλεται
στο ότι ο λίγο μεγαλύτερος όγκος του στέμματος θα είναι υπεύθυνος για τη
λίγο μεγαλύτερη άνωση που θα δεχτεί το στέμμα και άρα για τη λίγο
διαφορετική συνιστάμενη δύναμη που ασκείται στους 2 βραχίονες της ζυγαριάς.
Αλλίωση της ισορροπίας της ζυγαριάς ισοδυναμεί με αλλίωση της καθαρότητας
του χρυσού του στέμματος.

Ωστόσο έχει ενδιαφέρον να συγκρίνουμε ως προς την ακρίβεια την παραπάνω
μέθοδο (ας τη λέμε μέθοδο της ζύγισης στο νερό) με τη μέθοδο της
ογκομέτρησης.

Αρχικά σχολιάζουμε τη μέθοδο της ογκομέτρησης.

Σύμφωνα με τις παραδοχές που κάναμε στην εκφώνηση, το καθαρό χρυσάφι
εκτοπίζει όγκο νερού ίσο με 1000/19,3=51,82 κυβικά εκατοστά
Το στέμμα εκτοπίζει όγκο νερού ίσο με 700/19,3 + 300/10,5 = 64,83 κ.εκ
Η διαφορά του εκτοπιζόμενου όγκου είναι περίπου 13 κ. εκ Αυτή είναι που
πρέπει να ανιχνευτεί.

Προσοχή τώρα στο κρίσιμο σημείο.

Για να χωρέσει το σφαιρικό (κατά προσέγγιση) στέμμα μέσα στο δοχείο θα
πρέπει το δοχείο να είναι στην καλύτερη περίπτωση κυλινδρικό με ακτίνα ίση
με αυτή του στέμματος. Άρα η επιφάνεια του δοχείου θα πρέπει να έχει εμβαδό
τουλάχιστο ίσο με π*ρ^2 δηλαδή περίπου ίσο με 314 τετραγωνικά εκατοστά. Ένας
όγκος 13 κ.εκ σε ένα δοχείο επιφάνειας 314 τετ. εκ χρειάζεται ύψος μόλις
0,41 χιλιοστά. Τόση θα είναι η διαφορά της ανόδου της στάθμης λόγω της
βύθισης των διαφορετικών σωμάτων στο νερό. Πολύ δύσκολο να ανιχνευτεί!!!
Εδώ θα πρέπει να προσθέσουμε ότι στη μέθοδο που περιγράφει ο Vitruvius,
υπάρχει περίπτωση ένας μικρός κυματισμός που θα προκαλέσει το στέμμα στο
νερό καθώς βυθίζεται, να οδηγήσει σε εσφαλμένη υπερχείλιση και άρα αλλοίωση
του αποτελέσματος. Όταν «παίζουμε» σε επίπεδο κάτω του μισού χιλιοστού, ο
κυματισμός δεν είναι αμελητέος.

Στη μέθοδο της ζύγισης στο νερό τα πράγματα είναι διαφορετικά. Σε κάθε σώμα
που βρίσκεται σε κάθε βραχίονα της ζυγαριάς ασκείται το βάρος του και η
άνωση. Το βάρος είναι ίδιο και στις 2 περιπτώσεις, αλλά η άνωση είναι
διαφορετική. Η άνωση ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται. Άρα η
διαφορά της άνωσης στα 2 σώματα είναι ίση με το βάρος του νερού που
καταλαμβάνει όγκο ίσο με τη διαφορά των όγκων τους. Τα 13 κ εκ νερού, που
είναι η διαφορά των όγκων, ζυγίζει 13 γραμμάρια. Η ζυγαριά θα γύρει με
τέτοια διαφορά βάρους!!!

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί τις αρχές της άνωσης και
των μοχλών, πράγματα με τα οποία ξέρουμε ότι ασχολήθηκε σε βάθος ο
Αρχιμήδης. Επίσης θα πρέπει να τονίσουμε ότι κατά τη λύση του προβλήματος
του στέμματος, ο Αρχιμήδης δεν είχε στη διάθεσή του τους νόμους της φυσικής
που έχουμε εμείς σήμερα. Αναγκάστηκε λοιπόν να τους ανακαλύψει για να λύσει
το πρόβλημα.

Ένα δικό μου σχόλιο είναι ότι θα μπορούσαμε να αυξήσουμε ακόμα περισσότερο
την παραπάνω μέθοδο αν αντί για νερό χρησιμοποιούσαμε υδράργυρο. Ο
υδράργυρος έχει ειδικό βάρος περίπου 13.5 γρ/κ. εκ. Μια ποσότητα υδραργύρου
ίση με τη διαφορά των όγκων (στέμματος-καθαρού χρυσού) ζυγίζει 13.5 φορές
περισσότερο από ότι ζυγίζει η ποσότητα του νερού. Δηλαδή η ακρίβεια της
μεθόδου αυξάνεται 13.5 φορές. Με τα συγκεκριμένα νούμερα του προβλήματος θα
είχαμε διαφορά στην άνωση 13*13.5= 175,5 γραμμάρια. Σκεφτείτε την ακραία
περίπτωση που είχαμε πολύ μεγάλη νοθεία, θα μπορούσε το ειδικό βάρος του
στέμματος να πέσει κάτω από το ειδικό βάρος του υδραργύρου και το στέμμα να
μη βυθίζεται καθόλου!!!

Δεν ξέρω αν κάτι πάει στραβά στο θέμα του υδραργύρου (πχ να μην είναι
διαθέσιμος στην αρχαία ελλάδα ή κάποια ιδιότητα του υδραργύρου να εμποδίζει
τη συγκεκριμένη χρήση του). Αν κάποιος (πχ χημικός) έχει καμιά ιδέα πάνω σε
αυτό ας το πει.

Με την ευκαιρία, να πούμε και 2 λόγια για την άνωση.

Σήμερα ξέρουμε ότι η άνωση δεν είναι μια ξένη δύναμη. Είναι αναπόφευκτη
συνέπεια των νόμων του Νεύτωνα.

Κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας ας φανταστούμε μια μάζα νερού
οποιουδήποτε σχήματος. Μπορούμε να φανταστούμε ότι περικλείεται από ένα
αβαρές μπαλόνι τυχαίου σχήματος που οριοθετεί το σύνορό της από το υπόλοιπο
νερό. Η μάζα αυτή ισορροπεί, άρα οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω της έχουν
συνισταμένη μηδέν. Άρα ασκείται πάνω της (από το υπόλοιπο νερό) μια δύναμη
ίση με το βάρος της. Η δύναμη αυτή είναι που αποκαλούμε άνωση. Και επειδή το
υπόλοιπο νερό δεν μπορεί να γνωρίζει από τι είναι φτιαγμένη η εν λόγω μάζα
μέσα στο υποθετικό μπαλόνι (αλλά μόνο τον όγκο της), η άνωση ασκείται σε
κάθε σώμα που βυθίζεται στο νερό. Με αυτό το σκεπτικό καταλαβαίνουμε ότι σε
κάθε σώμα που βυθίζεται σε υγρό, ασκείται μια δύναμη ίση με το βάρος του
εκτοπιζόμενου υγρού, ως αναπόφευκτη συνέπεια των νόμων του Νεύτωνα.

Αρκετοί ασχολήθηκαν με το πρόβλημα. Έλαβα περίπου 25 απαντήσεις οι οποίες
περιέγραφαν κάποια παραλλαγή της λύσης της ογκομέτρησης.

Τη λύση ακριβείας τη βρήκε ο Γιώργος Τσετσένεκος.

Φιλικά

Γιώργος

_________________________________________________________________
Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today it's FREE!
http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου