Όσοι έχουν πάρει μάθημα "Πιθανότητες", δεν θα δυσκολευτούν
καθόλου. Η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον 2 γενέθλια την ίδια μέρα
είναι η συμπληρωματική της πιθανότητας να έχουν όλοι γενέθλια
διαφορετική μέρα. (1-p).
Αν θέλουμε να το λύσουμε με αυστηρα μαθηματικά, θα πούμε ότι όλοι οι
πιθανοί τρόποι που μπορούν να έχουν γενέθλια τα παιδιά, μας κάνουν
ένα δειγματοχώρο με πλήθος Ν=365^41. Πράγματι, το 1ο παιδί έχει 365
τρόπους να έχει γενέθλια (πιθανές μέρες). Το 2ο παιδί έχει 365... Το
41ο παιδί έχει κι αυτό 365. ’ρα συνολικά Ν=365^41 τρόποι.
Αν θέλουμε τώρα να έχουν όλοι γενέθλια διαφορετική μέρα πόσοι
τρόποι υπάρχουν? Το 1ο παιδί έχει 365 τρόπους, είναι κυριλλέ. Το 2ο,
έχει 364 γιατί δεν μπορεί να πέσει στην ίδια μέρα με το 1ο. Το 3ο έχει
363. Δηλαδή και τα 41 παιδιά έχουν:
S=365*364*363* ... *325
( ή αλλιώς 365! / 324! )
(365 παραγοντικό διά 324 παραγοντικό)
Συνεπώς η πιθανοτητα να έχουν όλα τα παιδιά γενέθλια διαφορετική
μέρα είναι όλοι οι τρόποι να έχουν γενέθλια διαφορετική μέρα, διά
όλους τους τρόπους να έχουν γενέθλια γενικώς (ορισμός πιθανότητας:
πλήθος των επιθυμητών αποτελεσμάτων / πλήθος επιθυμητών
αποτελεσμάτων). Έτσι έχουμε
p=365*364* ... 325 / 365^41
Αυτό, επειδή δεν υπολογίζεται εύκολα, μπορούμε να το σπάσουμε σε
γινόμενα (365/365)*(364/365)*(363/365)* ... *(325/365).
Αφού κάνουμε πράξεις βλέπουμε ότι p=0,0968, άρα η πιθανότητα
τουλάχιστον δύο παιδιά να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια είναι:
(1-p)=0,9032
Πάρα πολύ μεγάλη! Συνεπώς δεν συμφέρει καθόλου τα παιδιά αυτό
που τους είπε ο δάσκαλος, γιατί 90% θα έχουν 2 παιδιά (τουλάχιστον)
γενέθλια την ίδια μέρα.
Συγκεκριμένα, αν ήταν 23 παιδιά η πιθανότητα θα ήταν περίπου 50%
δηλαδή θα το παίζανε περίπου κορώνα-γράμματα αν θα πάρουνε τον
πούλο ή 20 στο διαγώνισμα.
Μπορούμε να λύσουμε το παραπάνω και με άλλο σκεπτικό. Να πούμε
ότι ο 1ος θα έχει κάποια μέρα γενέθλια. Ο 2ος θα πρέπει να έχει
κάποια διαφορετική μέρα γενέθλια, γεγονός με πιθανότητα (364/365). Ο
3ος θα πρέπει να έχει κάποια διαφορετική μέρα από τους άλλους 2,
πιθανότητα (363/365). Συνεχίζοντας έτσι μέχρι το 41ο, θα βρούμε την
τελική πιθανότητα πολλαπλασιάζοντας όλες τις παραπάνω (ανεξάρτητα
γεγονότα που συμβαίνουν ταυτόχρονα = πολλαπλασιασμός
πιθανοτήτων του κάθε ενός ξεχωριστά), οπότε καταλήγουμε πάλι στο
παραπάνω γινόμενο (364/365)*(363/365)* ... *(325/365).
Με ένα απλό scriptaki στο Matlab, βγαίνει ο παρακάτω πίνακας. Στην
πρώτη στήλη είναι το πλήθος των παιδιών. Στη δεύτερη η πιθανότητα να
έχουν όλοι διαφορετική μέρα γενέθλια (για ένα παιδί είναι βεβαιότητα).
Και στην τρίτη η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον 2 γενέθλια την ίδια
μέρα (συμπληρωματική).
1 1 0
2.0000 0.9973 0.0027
3.0000 0.9918 0.0082
4.0000 0.9836 0.0164
5.0000 0.9729 0.0271
6.0000 0.9595 0.0405
7.0000 0.9438 0.0562
8.0000 0.9257 0.0743
9.0000 0.9054 0.0946
10.0000 0.8831 0.1169
11.0000 0.8589 0.1411
12.0000 0.8330 0.1670
13.0000 0.8056 0.1944
14.0000 0.7769 0.2231
15.0000 0.7471 0.2529
16.0000 0.7164 0.2836
17.0000 0.6850 0.3150
18.0000 0.6531 0.3469
19.0000 0.6209 0.3791
20.0000 0.5886 0.4114
21.0000 0.5563 0.4437
22.0000 0.5243 0.4757
23.0000 0.4927 0.5073
24.0000 0.4617 0.5383
25.0000 0.4313 0.5687
26.0000 0.4018 0.5982
27.0000 0.3731 0.6269
28.0000 0.3455 0.6545
29.0000 0.3190 0.6810
30.0000 0.2937 0.7063
31.0000 0.2695 0.7305
32.0000 0.2467 0.7533
33.0000 0.2250 0.7750
34.0000 0.2047 0.7953
35.0000 0.1856 0.8144
36.0000 0.1678 0.8322
37.0000 0.1513 0.8487
38.0000 0.1359 0.8641
39.0000 0.1218 0.8782
40.0000 0.1088 0.8912
41.0000 0.0968 0.9032
Που είναι ο καθηγητής μου (ονόματα δε λέμε) που μου έβαλε 5 στις
πιθανότητες να με δεί????
Αλέξανδρος
*************************************
Original message from: trabukos <"trabukos" <trabukos@bigfoot.com>>
>O daskalos leei sta paidia oti tha tous balei diagonisma.
>Ta paidia fisikia, provaloun antiriseis.
>Tote o daskalos tous leei:
>"An esto 2 apo esas, giortazoun tin idia mera ta genethlia tous, tote
tha
>sas balo se olous miden. Allios tha parete olloi 20. Dexeste ?"
>
>Ti prepei na apantisoun ta paidia ?
>Sto tmima einai 41 paidia. Akomi ypothetoume oti o xronos exei 365
meres,
>diladi theoroume (gia efkolia) oti den yparxei imerominia 29-
Febrouariou.
>
>(apantisis dektes. Tourtes me kerakia dektes.)
>
>
>
>___________________________________________________________
___________
>
>Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές ... και άλλα ...
>Πληροφορίες --> https://anekdota.duckdns.org/quiz_list.html
>___________________________________________________________
___________
>
>
>
>
>
______________________________________________________________________
Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές ... και άλλα ...
Πληροφορίες --> https://anekdota.duckdns.org/quiz_list.html
______________________________________________________________________