JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: trismegistos(lysis)



(nil): theofanis gkountras (fanisg(@)yahoo.com)
Ημερομηνία: Σαβ 07 Ιούν 2003 - 14:06:03 EEST

Χαιρετω τη λιστα,

μια ασχετη διευκρινηση,
ο αριθμος 9^(9^9) ειναι ο μεγιστος αριθμος που
γραφεται με τοσο συντομο τροπο, αν γραφτει με τον
παραδοσιακο τροπο (οποτε ουτε παρενθεσεις ουτε ^ ειναι
αναγκαια για την περιγραφη του) εγω το εγραψα ετσι για
να ειναι σαφες το νουμερο. (καποιοι σκεφτηκαν οτι με
χρηση παραγοντικων το νουμερο μπορει να ειναι
μεγαλυτερο) δεν εμεινα πολυ εκει γιατι δεν ηταν αυτο
το ερωτημα του γριφου.

Σωστα απαντησαν (πιστευω δεν ξεχνω κανεναν)
οι

Skouteris Dimitris
Fanurgakis Manolis
George Papargiris
Vaggelis Kapoulas

παμε στην λυση τα πρωτα δυο ουσιαστικα αντιστοιχουν με
τον κατα προσεγγιση υπολογισμο του αριθμου.
γραφουμε τον αριθμο στην μορφη x*10^n
αν 1 <= x < 10 και n ακεραιος τοτε ν+1 ειναι ο αριθμος
των ψηφιων αν γραφοταν ο αριθμος κανονικα,
y = 9^9^9 = x*10^n
το προβλημα ειναι πως με τους "πρωτογονους"
υπολογιστες του 2003 δεν ειναι ευκολα εφικτος ο αμεσος
υπολογισμος του y.
μπορουν να γινουν οι πραξεις οπως παρακατω,
logy = 9^9*log9 = n+logx
οπου log ο λογαριθμος με βαση 10 (log10=1)
το νοημα ειναι πως τωρα μπορουμε να εχουμε
προσεγγιστικα την λυση.
(ισχυει 0<=logx<1)
ετσι το n υπολογιζεται με ακριβια,
ενω x=10^(logy-n) μπορουμε να το εχουμε με καποια
ακριβεια.
πχ με το Mathematica

logy=9^9Log[10,9];
n=IntegerPart[logy]

369693099

x=10^(logy-n)//N

4.28125

(θελει λιγη μονο προσοχη η ακριβεια των πραξεων)
και επομενως
α) 369693100 ψηφια αποτελουν τον αριθμο y
β) 4.2 ειναι τα δυο πρωτα ψηφια του.

παμε τωρα στο γ' ερωτημα,
η σημαντικη παρατηρηση ειναι πως οταν πολλαπλασιαζουμε
εναν αριθμο με καποιον (πχ το 9) τα δυο τελευταια
ψηφια του νεου αριθμου καθοριζονται απολυτα απο τα δυο
τελευταια ψηφια του παλιου. ακομα τα δυο τελευταια
ψηφια δινουν 100 πιθανους συνδιασμους
( απο το 00 ως το 99 )
ετσι γνωριζουμε πως πολλαπλασιαζοντας συνεχεια με το 9
θα καταληξουμε σε περιοδικη επαναληψη τον δυο
τελευταιων ψηφιων

9^9=387420489
και τα δυο τελευταια ψηφια του 9^10 ειναι 01
τα ιδια με του 9^0 = (0)1
αρα επαναλαμβανονται με περιοδο 10
μας ενδιαφερει επομενως μονο το τελευταιο ψηφιο του
9^9 ειναι 9
και επομενως το 9^9^9 εχει τα ιδια δυο τελευταια ψηφια
με το 9^9 δηλαδη
89

ασχετη σημειωση,
ισχυει
(α*10^ν+1)^10=β*10^(ν+1)+1
με α,β,ν ακεραια
(αποδεικνυεται ευκολα)
αυτο μας δινει την ιδεα οτι ειναι δυνατον
αν καποιος εχει μεγαλη υπομονη να προχωρησει μερικα
ακομα ψηφια απο το τελος.

 

__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Calendar - Free online calendar with sync to Outlook(TM).
http://calendar.yahoo.com

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου