JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: Το ασπρόμαυρο επίπεδο



(nil): George Papargiris (gpapargi(@)hotmail.com)
Ημερομηνία: Παρ 08 Αύγ 2003 - 13:33:08 EEST

Καλημέρα στη λίστα

Ας θυμηθούμε πρώτα το πρόβλημα

Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου βάφεται με άσπρο ή μαύρο
χρώμα, εντελώς τυχαία.
Δείξτε ότι ανεξάρτητα από το πως θα βαφτεί το επίπεδο, υπάρχει πάντα
τρίγωνο του οποίου οι κορυφές και το κέντρο βάρους (σημείο τομής των
διαμέσων) έχουν το ίδιο χρώμα

Δείτε παρακάτω την απάντηση που ουσιαστικά είναι ένα copy-paste της
απάντησης του Βαγγέλη Καπούλα με κάποιο μικρό editing:

Διαλέγουμε τρία σημεία Α, Β, Γ με το ίδιο χρώμα (έστω μαύρα)
που να μην είναι πάνω στην ίδια ευθεία (δηλαδή να ορίζουν ένα
τρίγωνο).

Τέτοια σημεία υπάρχουν πάντα. Εάν δεν υπάρχουν από το ένα χρώμα
τότε όσα υπάρχουν είτε είναι όλα πάνω στην ίδια ευθεία είτε είναι
δύο ή λιγότερα (οπότε υπάρχει ευθεία που τα περιλαμβάνει όλα).
Τότε όμως σε οποιοδήποτε ημιεπίπεδο εκατέρωθεν της ευθείας όλα
τα σημεία έχουν το άλλο χρώμα και μπορούμε να διαλέξουμε τρία
από αυτά.

Εστω Μ το κέντρο βάρους (σημείο τομής των διαμέσων).

Εάν το Μ είναι ίδιου χρώματος με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε
βρήκαμε το τρίγωνο μας και όλα ωραία.

Εστω οτι το Μ είναι άσπρο.

Θεωρούμε το σημείο Α' έτσι ώστε το Α' να βρίσκεται στην ημιευθεία
ΜΑ και η απόσταση ΑΑ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά
από το Α. Θεωρούμε το τρίγωνο Α'ΒΓ. Το σημείο Α είναι το κέντρο
βάρους αυτού του τριγώνου. Εάν το σημείο Α' είναι ίδιου χρώματος
με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και το πρόβλημα
λύθηκε.

Εστω οτι και το Α' είναι άσπρο.

Επαναλαμβάνουμε το σκεπτικό

Θεωρούμε το σημείο Β' έτσι ώστε το Β' να βρίσκεται στην ημιευθεία
ΜΒ και η απόσταση ΒΒ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά
από το Β. Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒ'Γ. Το σημείο Β είναι το κέντρο
βάρους αυτού του τριγώνου. Εάν το σημείο Β' είναι ίδιου χρώματος
με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και τελειώσαμε.

Εστω οτι και το Β' είναι άσπρο.

Θεωρούμε το σημείο Γ' έτσι ώστε το Γ' να βρίσκεται στην ημιευθεία
ΜΓ και η απόσταση ΓΓ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά
από το Γ. Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ'. Το σημείο Γ είναι το κέντρο
βάρους αυτού του τριγώνου. Εάν το σημείο Γ' είναι ίδιου χρώματος
με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και τελειώσαμε.

Εστω οτι και το Γ' είναι άσπρο.

Τότε όμως το Μ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου Α'Β'Γ' (η
απόδειξη βασίζεται στις ομοιότητες των τριγώνων και παραλείπεται), και όλα
αυτά τα σημεία είναι
άσπρα. Οπότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και όλα ωραία.

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστο ένα τρίγωνο που έχει σε κορυφές
και βαρύκεντρο το ίδιο χρώμα.

Σωστά απάντησαν οι:

Θεοφάνης Γκούντρας
Δημήτρης Σκουτέρης
Νίκος Καραντζούλης
Βαγγέλης Καπούλας

Ελπίζω να μην ξέχασα κάποιον. 4 ήταν όλοι κι όλοι αλλά ποτέ δεν ξέρεις...

Καλές βουτιές

Γιώργος

>From: "George Papargiris" <gpapargi(@)hotmail.com>
>To: "Quiz of the Day ..." <akis-quiz(@)ceid.upatras.gr>
>Subject: QotD... Το ασπρόμαυρο επίπεδο
>Date: Fri, 11 Jul 2003 10:55:39 +0300
>
>Γεια χαρά σε όλους
>
>Πριν από λίγες μέρες είχε περάσει από τη λίστα το quiz στο οποίο έπρεπε να
>αποδειχτεί ότι 3 χρώματα δεν είναι αρκετά για να χρωματιστεί ένα επίπεδο
>έτσι ώστε 2 σημεία που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d να έχουν διαφορετικό
>χρώμα.
>
>Ας δούμε ένα παρεμφερές πρόβλημα:
>
>Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου βάφεται με άσπρο ή μαύρο χρώμα,
>εντελώς τυχαία.
>Δείξτε ότι ανεξάρτητα από το πως θα βαφτεί το επίπεδο, υπάρχει πάντα
>τρίγωνο του οποίου οι κορυφές και το κέντρο βάρους (σημείο τομής των
>διαμέσων) έχουν το ίδιο χρώμα.
>
>Επειδή θέλω τα προβλήματα που βάζω να μην απαιτούν εξειδικευμένες γνώσεις
>αλλά εμπνευσμένη σκέψη θυμίζω ότι το κέντρο βάρους απέχει από την κορυφή
>του τριγώνου τα 2/3 τις αντίστοιχης διαμέσου. Ενδεχομένως να χρειαστούν και
>κάτι ψιλά από όμοια τρίγωνα.
>Η δυσκολία όμως δεν κρύβεται στις γεωμετρικές γνώσεις αλλά στο πως θα
>οδηγηθούμε στο τρίγωνο που κατ' ανάγκη θα έχει κορυφές και κέντρο βάρους με
>το ίδιο χρώμα.
>
>Τις επόμενες μέρες θα προσπαθήσω σκληρά να είμαι συνεπής στην ιερότερη
>υποχρέωση που έχει κάθε εργαζόμενος απέναντι στον εαυτό του: τις ΔΙΑΚΟΠΕΣ.
>Από αύριο λοιπόν δε θα μπορώ να δω το mail μου, οπότε μην ανησυχήσετε αν
>αργήσω να απαντήσω στις λύσεις που θα στείλετε.
>
>Περιμένω σκέψεις...
>
>Γιώργος
>
>_________________________________________________________________
>The new MSN 8: smart spam protection and 2 months FREE*
>http://join.msn.com/?page=features/junkmail
>
>--
>
>ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Τα quiz στέλνονται στη λίστα. Oι απαντήσεις στέλνονται με
>ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ email σε αυτόν/ή που έστειλε το
>quiz και ΟΧΙ στη λίστα! Τέλος ... η λύση του quiz στέλνεται μετά απο λίγο
>καιρό (3-5) μέρες στη λίστα μαζί
>με τα ονόματα όσων βρήκαν τη σωστή απάντηση.
>
>
>_______________________________________________________________
>
> Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
> https://anekdota.duckdns.org
>
> ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
>_______________________________________________________________
>
>

_________________________________________________________________
The new MSN 8: advanced junk mail protection and 2 months FREE*
http://join.msn.com/?page=features/junkmail

--
.
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου