From: George Papargiris (gpapargi(@)hotmail.com)
Date: Παρ 08 Αυγ 2003 - 13:33:08 EEST
- Messages sorted by: [ date ] [ thread ] [ subject ] [ author ] [ attachment ]
- Mail actions: [ respond to this message ] [ mail a new topic ]
Καλημέα στη λίστα
Ας θυμηθούμε πρώτα το πρόβλημα
Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου βάφεται με άσπρο ή μαύρο χρώμα, εντελώς τυχαία. Δεξτε ότι ανεξάρτητα από το πως θα βαφτεί το επίπεδο, υπάρχει πάντα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές και το κέντρο βάρους (σημείο ομής των διαμέσων) έχουν το ίδιο χρώμα
Δείτε παρακάτω την απάντηση που ουσιαστικά είναι ένα copy-paste της απάντησης του Βαγγέλη Καπούλα με κάποιο μικρό editing:
Διαλέγουμε τρία σημεία Α, Β, Γ με το ίδιο χρώμα (έστω μαύρα) που να μην είναι πάνω στην ίδια ευθεία (δηλαδή να ορίζουν ένα τρίγωνο).
Τέτοια σημεία υάρχουν πάντα. Εάν δεν υπάρχουν από το ένα χρώμα τότε όσα υπάρχουν είτε είναι όλα πάνω στην ίδια ευθεία είτε είναι δύο ή λιγότερα (οπότε υάρχει ευθεία που τα περιλαμβάνει όλα). Τότε όμως σε οποιοδήποτε ημιεπίπεδο εκατέρωθεν της ευθείας όλα τα σημεία έχουν το άλλο χρώμα και μπορούμε να διαλέξουμε τρία από αυτά.
Εστω Μ το κέντρο βάρους (σημείο τομής των διαμέσων).
Εάν το Μ είναι ίδιου χρώματος με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και όλα ωραία.
Εστω οτι το Μ είναι άσπρο.
Θεωρούμε το σημείο Α' έτσι ώστε το Α' να βρίσκεται στην ημιευθεία ΜΑ και η απόσταση ΑΑ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά από το Α. Θεωρούμε το τρίγωνο Α'ΒΓ. Το σημείο Α είναι το κέντρο βάρους αυτού του τριγνου. Εάν το σημείο Α' είναι ίδιου χρώματος με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και το πρόβλημα λύθηκε.
Εστω οτι και το Α' είναι άσπρο.
Επαναλαμβάνουμε το σκεπτικό
Θεωρούμε το σημείο Β' έτσι ώστε το Β' να βρίσκεται στην ημιευθεία ΜΒ και η απόσταση ΒΒ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά από το Β. Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒ'Γ. Το σημείο Β είναι το κέντρο βάρους αυτού του τριγώνου. Εάν το σημείο Β' είναι ίδιου χρώματος με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και τελειώσαμε.
Εστω οτι και το Β' είναι άσπρο.
Θεωρούμε το σημείο Γ' έτσι ώστ το Γ' να βρίσκεται στην ημιευθεία ΜΓ και η απόσταση ΓΓ' να είναι το διπλάσιο της διαμέσου που περνά από το Γ. Θεωρούμε το τρίωνο ΑΒΓ'. Το σημείο Γ είναι το κέντρο βάρους αυτού του τριγώνου. Εάν το σημείο Γ' είναι ίδιου χρώματος με τα Α, Β, Γ (δηλ. μαύρο) τότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και τελειώσαε.
Εστω οτι και το Γ' είναι άσπρο.
Τότε όμως το Μ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου Α'Β'Γ' (η
απόδειξη βασίζεται στις ομοιότητες των τριγώνων και παραλείπεται), και όλα
αυτά τα σημεία είναι
άσπρα. Οπότε βρήκαμε το τρίγωνο μας και όλα ωραία.
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση υπάρχει ουλάχιστο ένα τρίγωνο που έχει σε κορυφές και βαρύκεντρο το ίδιο χρώμα.
Σωστά απάντησαν οι:
Θεοφάνης Γκούντρας
Δημήτρης Σκουτέρης
Νίκος Καραντζούλης
Βαγγέλης Καπούλας
Ελπίζω να μην ξέχασα κάποιον. 4 ήταν όλοι κι όλοι αλλά ποτέ δεν ξέρεις...
Καλές βουτιές
Γιώργος
>From: "George Papargiris" <gpapargi(@)hotmail.com>
>To: "Quiz of the Day ..." <akis-quiz(@)ceid.upatras.gr>
>Subject: QotD... Το ασπρόμαυρο επίπεδο
>Date: Fri, 11 Jul 2003 10:55:39 +0300
>
>Γεια χαρά σε όλους
>
>Πριν από λίγες μέρες είχε περάσει από τη λίστα το quiz στο οποίο έπρεπε να
>αποδειχτεί ότι 3 χρώματα δεν είναι αρκετά για να χρωματιστεί ένα επίπεδο
>έτσι ώστε 2 σημεία που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d να έχουν διαφορετικό
>χρώμα.
>
>Ας δούμε ένα παρεμφερές πρόβλημα:
>
>Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου βάφεται με άσπρο ή μαύρο χρώμα,
>εντελώς τυχαία.
>Δείξτε ότι ανεξάρτητα από το πως θα βαφτεί το επίπεδο, υπάρχει πάντα
>τρίγωνο του οποίου οι ορυφές και το κέντρο βάρους (σημείο τομής των
>διαμέσων) έχουν το ίδιο χρώμα.
>
>Επειδή θέλω τα προβλήματα που βάζω να μην απαιτούν εξειδικευμέες γνώσεις
>αλλά εμπνευσμένη σκέψη θυμίζω ότι το κέντρο βάρους απέχει από την κορυφή
>του τριγώνου τα 2/3 τις αντίστοιχης διαμέσο. Ενδεχομένως να χρειαστούν και
>κάτι ψιλά από όμοια τρίγωνα.
>Η δυσκολία όμως δεν κρύβεται στις γεωμετρικές γνώσεις αλλά το πως θα
>οδηγηθούμε στο τρίγωνο που κατ' ανάγκη θα έχει κορυφές και κέντρο βάρους με
>το ίδιο χρώμα.
>
>Τις επόμενες μέρες θα προσπαθήσω σκληρά να είμαι συνεπής στην ιερότερη
>υποχρέωση που έχει κάθε εργαζόμενος απέναντι στον εαυτό του: τις ΔΙΑΚΟΠΕΣ.
>Από αύριο λοιπόν δε θα μπορώ να δω το mail μου, οπότε μην ανηυχήσετε αν
>αργήσω να απαντήσω στις λύσεις που θα στείλετε.
>
>Περιμένω σκέψεις...
>
>Γιώργος
>
>_________________________________________________________________
>The new MSN 8: smart spam protection and 2 months FREE*
>http://join.msn.com/?page=features/junkmail
>
>--
>
>ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Τα quiz στέλνονται στη λίστα. Oι απαντήσεις στέλνονται με
>ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ email σε αυτόν/ή που έστειλε το
>quiz και ΟΧΙ στη λίστα! Τέλος ... η λύση του quiz στέλνεται μετά απο λίγο
>καιρό (3-5) μέρες στη λίστα μαζί
>με τα ονόματα όσων βρήκαν τη σωστή απάντηση.
>
>
>_______________________________________________________________
>
> Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
> https://anekdota.duckdns.org
>
> ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
>_______________________________________________________________
>
>
The new MSN 8: advanced junk mail protection and 2 months FREE* http://join.msn.com/?page=features/junkmail
--
.
_______________________________________________________________
Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκφαλιές
https://anekdota.duckdns.org
___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________
- Next message: Fanurgakis Manolis: "Re: "
- Previous message: George Papargiris: "Πρόβλημα πιθανοτήτων"
- Messages sorted by: [ date ] [ thread ] [ subject ] [ author ] [ attachment ]
- Mail actions: [ respond to this message ] [ mail a new topic ]