JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Gewmetria (lisi sto isoskeles trigwno)



(nil): pak kar (pakoulis2004(@)yahoo.com)
Ημερομηνία: Δευ 28 Φεβ 2005 - 10:06:23 EET

Γεια και χαρά σε όλους

Ήρθε η ώρα να δημοσιεύσουμε τη λύση στο ερώτημα με το
ισοσκελές τρίγωνο.
Εδώ να πω ότι ήξερα πως υπάρχουν αρκετές λύσεις σ'
αυτό και από τις απαντήσεις
που έλαβα, προέκυψαν (εκτός από τη δική μου) κι άλλες
3. Λόγω του μεγάλου
ενδιαφέροντος που έχει καθεμιά απ΄ αυτές, αποφάσισα να
τις παρουσιάσω όλες!

Ας θυμηθούμε όμως πρώτα το πρόβλημα:

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α=20
μοίρες και Β=Γ=80 μοίρες.
Χωρίζουμε τη γωνία Β ως εξής: Από σημείο Δ (που ανήκει
στην πλευρά ΑΓ),
φέρνουμε την ΔΒ, τέτοια ώστε ΔΒΓ=60 μοίρες και ΔΒΑ=20
μοίρες.
Χωρίζουμε τη γωνία Γ ως εξής: Από σημείο Ε (που ανήκει
στην πλευρά ΑΒ),
φέρνουμε την ΕΓ, τέτοια ώστε ΕΓΒ=50 μοίρες και ΕΓΑ=30
μοίρες.

Ζητούμενο: Να υπολογιστεί η γωνία ΕΔΒ (σε μοίρες)

(Σημ. Σε όλες τις λύσεις, τα νούμερα είναι όλα μοιρες
και τρια
συνεχόμενα γραμματα είναι γωνία με κορυφή το μεσαίο
γράμμα).

1η λύση:

Από σημείο Ζ που ανήκει στην ΑΒ, φέρνουμε τη ΖΔ//ΒΓ,
τη ΖΓ και την ΕΗ (όπου Η το σημείο
τομής των ΖΓ και ΒΔ). Έστω Θ, το σημείο τομής των ΖΗ
και ΕΔ.

Οι γωνίες ΑΖΔ=Β=80=Γ=ΑΔΖ (εντός εκτός και επί τα
αυτά). Επομένως το τρίγωνο
ΑΖΔ ισοσκελές, άρα ΑΖ=ΑΔ, επομένως και το τραπέζιο
ΒΓΔΖ είναι ισοσκελές (ΒΖ=ΓΔ).

Το τρίγωνο ΑΔΒ ισοσκελές (με γωνίες 20-140-20, αφού
ΑΔ=ΔΒ), και ίσο με το ΑΖΓ
(διότι ΒΔ=ΖΓ, ως διαγώνιοι του ισοσκελούς τραπεζίου
ΒΓΔΖ).

Από τα τρίγωνα αυτά, προκύπτει ότι οι γωνίες ΔΖΓ=ΖΔΒ
είναι 60 (=140-80) άρα και η
ΖΓΒ=60 και συνεπώς τα τρίγωνα ΔΖΗ και ΒΓΗ είναι
ισόπλευρα.

[άρα ΒΗ=ΒΓ (1) & ΔΖ=ΔΗ (2)], ενώ οι γωνίες ΒΖΓ = ΒΔΓ =
180-80-60 = 40 (3)

Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές (διότι η γωνία ΒΕΓ
είναι 180-80-50=50) άρα ΒΕ=ΒΓ (4)

Από τις (1) & (4) προκύπτει ότι ΒΕ=ΒΗ, δηλ. ότι το
τριγ. ΕΒΗ ισοσκελές 80-20-80
(όμοιο με το αρχικό). Άρα η γωνία ΗΕΖ=180-80=100 (5)

Το τρίγωνο ΕΖΗ είναι επίσης ισοσκελές (αφού από τις
(3) & (5) προκύπτει ότι
ΖΗΕ=180-100-40=40). Άρα ΖΕ=ΕΗ (6).

Τέλος, τα τρίγωνα ΕΔΖ και ΕΔΗ είναι ίσα (έχουν 3
πλευρές ίσες), αφού:
Α) έχουν τη ΔΕ κοινή,
Β) ΔΖ=ΔΗ, από τη (2) - ισόπλευρο ΔΖΗ, και
Γ) ΖΕ=ΕΗ, από την (6)

Άρα τελικά οι γωνίες ΖΔΕ & ΕΔΗ (=ζητούμενη) είναι
ίσες κι επειδή ΖΔΗ=60
προκύπτει ότι ΕΔΗ = ΖΔΗ/2 = 60/2 = 30 μοίρες.

2η λύση:

Εστω σημείο Ζ πάνω στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΖΒΓ=20.
Τότε ΒΖΓ=80 και επειδή ΒΓΖ=ΒΓΑ=80, ΒΖ=ΒΓ.

Επίσης ΒΕΓ=180-ΕΒΓ-ΒΓΕ=180-80-50=50=ΒΓΕ. Αρα ΒΕ=ΒΓ.

ΕΒΖ=ΕΒΓ-ΖΒΓ=80-20=60.

Απο τα παραπάνω το τριγωνο ΕΒΖ είναι ισόπλευρο. Αρα
ΒΖΕ=60 και ΒΖ=ΒΕ=ΕΖ.

ΔΒΖ=ΔΒΓ-ΖΒΓ=60-20=40
ΒΔΖ=ΒΔΓ=180-ΔΒΓ-ΔΓΒ=180-60-80=40=ΔΒΖ. Αρα ΔΖ=ΒΖ=ΕΖ.
Επομένως ΖΕΔ=ΖΔΕ

ΕΖΔ=180-ΒΖΕ-ΒΖΓ=180-60-80=40. Αρα ΖΕΔ=ΖΔΕ=(180-ΕΖΔ)/2=
=(180-40)/2=140/2=70.

ΒΔΕ=ΖΔΕ-ΒΖΔ=70-40=30

Αρα η ζητούμενη γωνία είναι 30 μοίρες.

3η λύση: (με τριγωνομετρία!!!)

Με νόμο ημίτονων, συμβολίζοντας με φ τη γωνία ΕΔΒ και
με Ο το σημείο τομής των ΓΕ, ΒΔ:
ημφ / ημ(110-φ) = ΟΕ/ΟΔ = =
(ΒΟ/ΓΟ)*(ημ20/ημ30)*(ημ40/ημ50) =
ημ20*ημ40/(ημ60*ημ30).

Με τριγωνομετρικές ταυτότητες αποδεικνύουμε ότι
ημ20*ημ40*ημ80 = (ημ40 / 2) * (1/2 - συν100) =
1/4*ημ40 - 1/4*(ημ40 - Sqrt (3) /2)
= sqrt (3) / 8 = ημ30*ημ30*ημ60.

Συγκρίνοντας αυτό με την προηγούμενη εξίσωση, και αφού
η συνάρτηση
ημφ / ημ(110-φ) είναι αύξουσα, βγαίνει φ = 30.

4η λύση: (με Mathematica!!!)

τρέχουμε:
syneutheiako[x_,y_,λ_]:= x + λ(x - y)

το νόημα είναι προφανές. για τα σημεία x και y οι
πραγματικοί
λ κατασκευάζουν ευθεία. Εκμεταλευόμαστε αυτόν τον
ορισμό για
να ορίσουμε την τομή δυο ευθειών.

τρέχουμε tomi[a_,b_,c_,d_]:=
a+λ(a-b)/.Solve[syneutheiako[a,b,λ]==syneutheiako[c,d,μ],{λ,μ}][[1]]

αυτός ο ορισμός μας δίνει την τομή μιας ευθείας που
διέρχεται από τα
a,b και μιας ευθείας που διέρχεται από τα c,d

χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να ορίσουμε:
β = {1,0};
γ = {-1,0};
α = {0,Cot[Pi 10/180]};

οπότε οι γωνίες είναι σωστές.

για τον υπολογισμό του σημείου Δ ορίζουμε:
ζ = {0,Tan[Pi 60/180]};

οπότε:
δ = tomi[α,γ,ζ,β]

ομοίως το σημείο ε υπολογίζεται:

η = {0,Tan[Pi 50/180]};
ε = tomi[α,β,γ,η]

για τον υπολογισμό της γωνίας ΕΔΒ δεν έχουμε παρα να
υπολογίσουμε
συνημίτονο: (β-δ).(ε-δ)/Sqrt[( (β-δ).(β-δ) )(
(ε-δ).(ε-δ) )]//N

η γωνία υπολογίζεται:
ArcCos[%]

και το τελικό αποτέλεσμα σε μοιρες το παίρνουμε με την
τελευταία εντολή
%*(180/Pi)

είναι ακριβώς 30 μοίρες.

Σωστά απάντησαν οι εξής: (με σειρά αποστολής των
απαντήσεων)
Skouteris Dimitris (3η λύση)
George Papargiris (1η λύση)
Alexandros Sygelakis (2η λύση)
Vaggelis Kapoulas (2η λύση)
theofanis gkountras (4η λύση)

Φιλικά,
Πάρης

        
                
__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Mail - You care about security. So do we.
http://promotions.yahoo.com/new_mail

--
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου