From: pak kar (pakoulis2004(@)yahoo.com)
Date: Δευ 07 Μαρ 2005 - 08:47:29 EET
- Messages sorted by: [ date ] [ thread ] [ subject ] [ author ] [ attachment ]
- Mail actions: [ respond to this message ] [ mail a new topic ]
Γειά και χαρά...
δημοσιεύω σήμερα τη λύση στο πρόβλημα της γραμμική ισότητας.
Ας θυμηθούμε όμως πρώτα το ερώτημα:
Σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί ένας αριθμός (0-9), ώστε να
ισχύει η πράξη: ΑΚΤΙΣ * 2π = ΚΥΚΛΟΣ
Ζητείται η μία και μοναδική λύση, στην οποία ισχύει
ότι π>3.
Κάτι τέτοιο είναι άλλωστε αναμενόμενο, αφού γενικά στη
γεωμετρία ισχύει ότι π = 3.1415926... (δηλ π>3).
Επομένως: 2π = {24,25,26,27,28,29}
Διευκρίνιση (1): Εννοείται ότι Α>0 και Κ>0, ως αρχικά
γράμματα των λέξεων
Διευκρίνιση (2): Παρότι στον όρο 2π υπάρχει το 2,
κάποιο από τα άλλα γράμματα μπορεί είναι κι αυτό ίσο
με 2...
Διευκρίνιση (3): Οι άγνωσοι είναι 9, οπότε, προφανώς
δεν υπάρχει κάποιο από τα νούμερα (0-9), όχι
αναγκαστικά το μηδέν
Λύση: (λόγω μεγάλου μεγέθους, τα κείμενα και οι πίνακες που ακολουθούν έχουν διαμορφωθεί στο σημειωματάριο (notepad)και με γραμματοσειρά Courier New 9 - μεγιστοποιημένο παράθυρο)
Έχουμε 9 αγνώστους (Α, Κ, Τ, Ι, Σ, π, Υ, Λ, Ο). Επομένως, εάν υπάρχει το 0, δεν θα υπάρχει κάποιο άλλο ψηφίο. Έχουμε τώρα: (ΑΚΤΙΣ = πενταψήφιος) * (2π = διψήφιος) = (ΚΥΚΛΟΣ = εξαψήφιος). Το μόνο στοιχείο που έχουμε είναι ότι 2π={24,25,26,27,28,29}. Ξεκινάμε!!!
Αρχικά, γράφουμε την πράξη όπως θα την υπλογίζαμε με τον κλασσικό τρπο πολλαπλασιασμού, δηλ. πρώτα με το π και μετά με το 2 μεταφέροντας όλο το μερικό γινόμενο κατά μία θέση αριστερά. Συμβολίζουμε με β, γ, δ, ε & ζ τα πιθανά κρατούμενα της πρώτης πράξης (ΑΚΤΙΣ*π), και με η, θ, μ & ν τα αντίστοιχα της δεύτερης πράξης (ΑΚΤΙΣ*2). Μην τρομάζετε, δεν θα χρειαστούν όλα αυτά τα κρατούμενα...
--
Α Κ Τ Ι Σ
x 2 π
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Στήη: (6) (5) (4) (3) (2) (1)
ΑΚΤΙΣ*π= (ζ) (πΑ+ε) (πΚ+δ) (πΤ+γ) (πΙ+β) (πΣ)
Κρατούμενα: (+ζ) (+ε) (+δ) (+γ) (+β)
+
ΑΚΤΙΣ*2= (2Α+ν) (2Κ+μ) (2Τ+θ) (2Ι+η) (2Σ)
<--
Κρατούμενα: (+) (+μ) (+θ) (+η)
<--
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Κ Υ Κ Λ Ο Σ
Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής χρήσιμα
συμπεράσματα:
1. Για να ισχύει η πράξη της στήλης (1) π * Σ = Σ (+
10β), θα πρέπει:
a) είτε π=1 (το αποκλείσαμε αυτό εξαρχής, αφού έχουμε
ως δεδομένο ότι π>3),
b) είτε Σ=0 (αφού 0 * οτιδήποτε = 0)
c) είτε π=6 και Σ άρτιος (δηλ. 2*6=12, 4*6=24,
8*6=48), [όχι 6*6 (αφού τότε Σ=π)]
d) είτε Σ=5 και π περττός (δηλ. 5*7=35 ή 5*9=45)
Προκύπτουν λοιπόν τα ζεύγη:
(Σ,π) = (0,4), (0,5), (0,6), (0,7), (0,8), (0,9),
(2,6), (4,6), (8,6), (5,7) & (5,9).
(Το συμπέρασμα αυτό θα το χρησιμοπιήσουμε παρακάτω)
2. Για να είναι το αποτέλεσμα ΚΥΚΛΟΣ εξαψήφιο, πρέπει
η πράξη ΑΚΤΙΣ*2 να οδηγεί αναγκαστικά σε πενταψήφιο
μερικό γινόμενο (διαφορετικά θα προέκυπτε επταψήφιο
τελικό αποτέλεσμα). Κατά συνέπεια, η ποσότητα ΑΚΤΙΣ
δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 49.999 (αφού το
διπλάσιό της δεν υπερβαίνει τις 99.999). Έτσι
προκύπτει Α<5, ή 1<=Α<=4.
Για Α=4 όμως, είναι min(2π)=25, οπότε η πράξη ΑΚΤΙΣ *
2π = 4x.xxx * 25 > 1000000, δηλ. οδηγεί σε επταψήφιο
αποτέεσμα. Συνεπώς πρέπει να είναι Α<4, οπότε έχουμε
1<=Α<=3.
3. Σημαντικό στοιχείο αποτελεί η παρουσία των τριών Κ
στα αριστερά της σχέσης. Θα ασχοληθούμε τώρα με τους
αιθμούς ΑΚ.000 και ΚΥΚ.000. Κατασκευάζουμε τον πρώτο
μας πίνακα 1Α, στον οποίο θα βρούμε όλα τα πιθανά
γινόμενα 2π*(ΑΚ) που μπορούν να μας δώσουν αποτέλεσμα
ΚΥΚ. Στις πρώτες 2 στήλες βάζουμε τα ήδη γνωστά π & Α,
ενώ στην τρίτη στήλη δίνουμε τιμές στο Κ. Είναι
ευνόητο ότι το Κ δεν μπορεί να πάρει ταυτόχρονα ίδια
τιμή με τα π & Α. (Το σύμβολο "=/=" σημαίνει
"διάφορο")
ΠΙΝΑΚΑΣ 1Α: ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΟ "ΚΥΚ"
(ΕΚΤΛΕΣΗ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ: [ΚΥΚ] = 2π * (ΑΚ) , με
Κ=/=0, Κ=/=π, Κ=/=Α)
π Α |---------------------------------- Κ
------------------------------------|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (10)
4 1 --- *288 *312 (336) 360 384 408 432 456
---
4 2 504 --- 552 --- 600 *624 648 672 696 ---
4 3 744 768 --- --- 840 864 888 912 *936 (960)
5 1 --- 300 *325 350 --- 400 425 450 475 ---
5 2 525 --- 575 600 --- *650 675 700 725 ---
5 3 775 800 --- 850 --- 900 925 950 *975
(1000)
6 1 --- 312 *338 364 390 --- 442 468 494 ---
6 2 546 --- 598 624 650 --- *702 728 754 ---
6 3 806 832 --- 884 910 --- 962 988 1014 ---
7 1 --- 324 *351 *378 405 432 --- 486 513
---
7 2 567 --- 621 648 675 702 --- 756 783 ---
7 3 837 864 --- 918 945 972 --- 1026 1053 ---
8 1 --- 336 *364 *392 420 448 476 --- 532
---
8 2 588 --- 644 672 700 728 *756 --- 812 ---
8 3 868 896 --- 952 980 1008 1036 --- 1092 ---
9 1 --- 348 *377 *406 435 464 493 522 ---
---
9 2 609 --- 667 696 725 754 *783 *812 (841)
---
9 3 899 928 --- 986 1015 1044 1073 1102 --- ---
--- ή (ΧΧΧ) = Κ=π ή Κ=Α (όπου υπάρχουν τα
αποτελέσματα, αυτά εφανίζονται μόνο για βοήθεια)
ΧΧΧ = Αδύνατη η εύρεση ορίω ΚΥΚ από την
πράξη αυτή
*ΧΧΧ = Δυνατή η εύρεση ορίων ΚΥΚ από την πράξη
αυτή
Ουσιαστικά ο πίνακας παρουσιάζει την "προπαίδεια" των
αριθμών 24 - 29 από το 11 ως το 40. Για να γίνει όμως
πιο κατανοητός, δίνεται ένα παράδειγμα:
Για π=4, Α=1 και Κ=2, η πράξη 2π*(ΑΚ) δίνει αποτέλεσμα
24*12=288. Αυτό είναι το κατώτερο όριο του αριθμού
ΚΥΚΛΟΣ για ΑΚΤΙΣ=12.000 και 2π=24.
Αυξάνοντας το Κ κατά 1 (Κ=3) αντίστοιχα παίρνουμε
αποτέλεσμα 24*13=312. Αυτό είναι το ανώτερο όριο του
αριθμού ΚΥΚΛΣ για ΑΚΤΙΣ=12.XXX και 2π=24. Μια πιανή
τιμή του αριθμού ΚΥΚ.ΧΧΧ (με το πρώτο και το τρίτο
ψηφίο ίδι), θα μπορούσε να είναι ο 292.ΧΧΧ, αφού
είναι εντός των ορίων (288 & 312) και ταυτόχρονα Κ=2,
ως πρώτο & τρίτο ψηφίο.
Αντίθετα, η πράξη πχ. π=4, Α=2 & Κ=1, παρότι θεωρητικά
στέκει (αφού τα π, Α & Κ είναι όλα διαφορετικά μεταξύ
τους), δίνει αποτέλεσμα 24*21=504, δηλ. ποτέ ο όρος
ΚΥΚ δεν θα έχει Κ=1.
Ο υπολογισμός της στήλης για Κ=10 γίνεται για να δούμε
τα ανώτατα πιθαν όρια του ΚΥΚ στην περίπτωση όπου
Κ=9. Και βέβαια τότε η (βοηθητική) πράξη γίνεται:
2π*(Α+1)Κ, πχ. 24*40=960.
Κατασκευάζουμε στη συνέχεα τον πίνακα 1Β, στον οποίο
συνοίζονται οι δυνατές περιπτώσεις *ΧΧΧ του πίνακα
1Α, και παράλληλα παρουσιάζονται οι πιθανές τιμές που
μπορεί να εμφανίσει ο αριθμός ΚΥΚ:
ΠΙΝΑΚΑΣ 1Β: ΑΚΡΙΒΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ 'ΚΥΚ'
όπου f(Κ) = 2π * (ΑΚ) & f(Κ+1) = 2π * (ΑΚ+1)
π Α Κ f(Κ) f(Κ+1)|--- ΠΙΘΑΝΑ 'ΚΥΚ' ---|
4 1 2 288 312 *292
4 1 3 312 336 313 *323
4 2 6 624 648 626 *636 646
4 3 9 936 960 939 949 *959
5 1 3 325 350 *343
5 2 6 650 675 656
5 3 9 975 1000 *979 *989
6 1 3 338 364 *343 *353 363
6 2 7 702 728 *707 *717 727
7 1 3 351 378 *353 *363 373
7 1 4 378 405 *404
8 1 3 364 392 *373 383
8 1 4 398 420 *404 414
8 2 7 756 784 *757 *767
9 1 3 377 406 *383 393
9 1 4 406 435 414 *424 *434
9 2 7 783 812 *787 797
9 2 8 812 841 *818 828 *838
ΧΧΧ = Αδύνατη πράξη, διότι π=Υ Α=Υ
*ΧΧΧ = Δυνατή η εκτέλεση πράξης
Έχουν προκύψει λοιπόν 24 περιπτώσεις!
Θα κατασκευάσουμε τώρα τον πίνακα 1Γ, με στήλες τα π,
Α, Κ & Υ των περιπτώσεων αυτών, αξιοποιώντας παράλληλα
και την πρώτη παρατήρηση που κάναμε στην αρχή σχετικά
με το Σ. Είχαμε βρει τα ζεύγη (Σ,π) = (0,4), (0,5),
(0,6), (0,7), (0,8), (0,9), (2,6), (4,6), (8,6), (5,7)
& (5,9). Αναγκαστικά, λοιπόν οδηγούμαστε στη μελέτη
των εξής υποπεριπτώσεων:
- Για π = 4, 5, 8 υποχρεωτικά θα πρέπει Σ=0,
- για π=7 ή π=9 έχουμε Σ=0 ή Σ=5 (πειπτώσεις 12, 13,
14, 19, 20, 21, 22, 23 & 24), και τέλος,
- για π=6, σημειώνουμε ως πιθανές τιμές του Σ
(περιπτώσεις 8, 9, 10 & 11) τους άρτιους αριθμούς που
δεν έχουν χρησιμοποιηθεί στα π, Α, Κ, Υ
ΠΙΝΑΚΑΣ 1Γ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ
α/α π Α Κ Υ Σ
1 4 1 2 9 0
2 4 1 3 2 0
3 4 2 6 3 0
4 4 3 9 5 0
5 5 1 3 4 0
6 5 3 9 7 0
7 5 3 9 8 0
8α 6 1 3 4 2
8β 6 1 3 4 8
8γ 6 1 3 4 0
9α 6 1 3 5 2
9β 6 1 3 5 4
9γ 6 1 3 5 8
9δ 6 1 3 5 0
10α 6 2 7 0 4
10β 6 2 7 0 8
11α 6 2 7 1 4
11β 6 2 7 1 8
11γ 6 2 7 1 0
12α 7 1 3 5 0
12β 7 1 3 5 5 <--
13α 7 1 3 6 0
13β 7 1 3 6 5
14α 7 1 4 0 0 <--
14β 7 1 4 0 5
15 8 1 3 7 0
16 8 1 4 0 0 <--
17 8 2 7 5 0
18 8 2 7 6 0
19α 9 1 3 8 0
19β 9 1 3 8 5
20α 9 1 4 2 0
20β 9 1 4 2 5
21α 9 1 4 3 0
21β 9 1 4 3 5
22α 9 2 7 8 0
22β 9 2 7 8 5
23α 9 2 8 1 0
23β 9 2 8 1 5
24α 9 2 8 3 0
24β 9 2 8 3 5
Με την πρώτη ματιά αποκλείοντα οι περιπτώσεις 12β,
14α και 16, όπου Σ = Υ.
Από εδώ και μετά, παίρνουμε ία προς μία τις
περιπτώσεις για να βρούμε τους αριθμούς "ΑΚΤΙΣ" που
έχουν όλα τα ψηφία τους τέτοια ώστε να ικανοποιούν
όλες τις συνθήκες (στον παρακάτω πίνακα 2Α). Η όλη
διαδικασία έχει ως εξής:
Για κάθε "ΚΥΚ" που βρήκαμε, υπολογίζουμε τα όρια της
"χιλιάδας" του (από ΚΥΚ.001 έως ΚΥΚ.999). Στη συνέχεια
διαιρούμε προς 2π, και βρίσκουμε αντίστοιχα τα ρια
μέσα στα οποία κυμαίνεται ο αριθμός "ΑΚΤΙΣ",
στρογγυλεύοντας ανάλογα το αποτέλεσμα της διαίρεσης.
Ανάλογα τώρα με το όσες φορές μπορεί να εμφανιστεί το
ψηφίο Σ στην τελευταία θέση μέσα στα όρια αυτά,
βρίσκουμε και αξιοογούμε τις πιθανές τιμές (α-δ) των
αριθμών "ΑΚΤΙΣ" που προκύπτουν.
Συμβολισμοί: (a) = ΑΚΤΙΣ, (k) = ΚΥΚΛΟΣ, *xxxxx =
αποδεκτή τιμή
ΠΙΝΑΚΑΣ 2Α
α/α π Α Κ Υ Σ |-- ΟΡΙΑ(k) --|--(a)=(k)/2π --|----
ΠΙΘΑΝΕΣ ΤΙΜΕΣ 'ΑΚΤΙΣ' ----| ΛΟΓΟΣ ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ
min(k) max(k) min(a) max(a) α β γ δ
1 4 1 2 9 0 292001 292999 12167 12208 12170 12180
12190 12200 α) β) γ) Τ=Α & δ) Τ=Κ
2 4 1 3 2 0 323001 323999 13459 13499 13460 13470
13480 13490 Τ=π
3 4 2 6 3 0 636001 636999 26501 26541 *26510 26520
26530 26540 β) Ι=Κ, γ) Ι=Υ, δ) Ι=π
4 4 3 9 5 0 959001 959999 39959 39999 39960 39970
39980 39990 Τ=Κ
5 5 1 3 4 0 343001 343999 13721 13759 13730 13740
13750 α) Ι=Κ β) Ι=Υ γ) Ι=π
6 5 3 9 7 0 979001 979999 39161 39199 39170 *39180
39190 α) Ι=Υ γ) Ι=Κ
7 5 3 9 8 0 989001 989999 39561 39599 39570 39580
39590 Τ=π
8α 6 1 3 4 2 343001 343999 13193 13230 13202 13212
13222 Τ=Σ
8β 6 1 3 4 8 343001 343999 13193 13230 13198 *13208
13218 13228 α) Τ=Α γ) Ι=Α δ) Ι=Τ
8γ 6 1 3 4 0 343001 343999 13193 13230 13200 13210
13220 13230 α) Ι=Σ β) Ι=Α γ) Ι=Τ δ) Ι=Κ
9α 6 1 3 5 2 353001 353999 13577 13615 13582 13592
13602 13612 α) β) Τ=Υ γ) δ) Τ=π
9β 6 1 3 5 4 353001 353999 13577 13615 13584 13594
13604 13614 α) β) Τ=Υ γ) δ) Τ=π
9γ 6 1 3 5 8 353001 353999 13577 13615 13578 13588
13598 13608 α) β) γ) Τ=Υ δ) Τ=π
9δ 6 1 3 5 0 353001 353999 13577 13615 13580 13590
13600 13610 α) β) Τ=Υ γ) δ) Τ=π
10α 6 2 7 0 4 707001 707999 27193 27230 *27194 27204
27214 27224 β) γ) δ) Τ=Α
10β 6 2 7 0 8 707001 707999 27193 27230 *27198 27208
27218 27228 β) γ) δ) Τ=Α
11α 6 2 7 1 4 717001 717999 27577 27615 *27584
*27594 27604 27614 γ) δ) Τ=π
11β 6 2 7 1 8 717001 717999 27577 27615 27578 27588
*27598 27608 α) Ι=Κ β) Ι=Σ δ) Τ=π
11γ 6 2 7 1 0 717001 717999 27577 27615 *27580
*27590 27600 27610 γ) δ) Τ=π
12α 7 1 3 5 0 353001 353999 13075 13111 13080 13090
13100 13110 α) β) Τ=Σ γ) δ) Τ=Α
13α 7 1 3 6 0 363001 363999 13445 13481 *13450 13460
13470 *13480 β) Ι=Υ γ) Ι=π
13β 7 1 3 6 5 363001 363999 13445 13481 13445 13455
13465 13475 α) Τ=Ι β) Ι=Σ γ) Ι=Υ δ) Ι=π
14β 7 1 4 0 5 404001 404999 14964 14999 *14965 14975
*14985 14995 β) Ι=π δ) Τ=Ι
15 8 1 3 7 0 373001 373999 13322 13357 13330 13340
13350 Τ=Κ
17 8 2 7 5 0 757001 757999 27036 27071 27040 27050
27060 27070 Τ=Σ
18 8 2 7 6 0 767001 767999 27393 27428 27400 *27410
27420 α) Ι=Σ γ) Ι=Α
19α 9 1 3 8 0 383001 383999 13207 13241 13210 13220
13230 *13240 α) Ι=Α β) Ι=Τ γ) Ι=Κ
19β 9 1 3 8 5 383001 383999 13207 13241 13215 13225
13235 α) Ι=Α β) Ι=Τ γ) Ι=Κ
20α 9 1 4 2 0 424001 424999 14621 14655 *14630 14640
*14650 β) Ι=Κ
20β 9 1 4 2 5 424001 424999 14621 14655 14625 *14635
14645 14655 α) Ι=Υ γ) Ι=Κ δ) Ι=Σ
21α 9 1 4 3 0 434001 434999 14966 14999 14970 14980
14990 Τ=π
21β 9 1 4 3 5 434001 434999 14966 14999 14975 14985
14995 Τ=π
22α 9 2 7 8 0 787001 787999 27138 27172 *27140
*27150 *27160 27170 δ) Ι=Κ
22β 9 2 7 8 5 787001 787999 27138 27172 *27145 27155
*27165 β) Ι=Σ
23α 9 2 8 1 0 818001 818999 28207 28241 28210 28220
28230 28240 Τ=Α
23β 9 2 8 1 0 818001 818999 28207 28241 28215 28225
28235 Τ=Α
24α 9 2 8 3 0 838001 838999 28897 28931 28900 28910
28920 28930 Τ=π
24β 9 2 8 3 5 838001 838999 28897 28931 28905 28915
28925 28935 Τ=π
Τέλος, στον πίνακα 2Β κάνουμε την εκτέλεση των πράξεων
μεταξύ των *ΧΧΧΧΧ αριθμών και του αντίστοιχου 2π, απ'
όπου τελικά προκύπτει η λύση:
ΙΝΑΚΑΣ 2Β
α/α από πίνακα 2Α 2π x ΑΚΤΙΣ = ΚΥΚΛΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ
1 3 24 x 26510 = 636240 Λ=Α=2, Ο=π=4
2 6 25 x 39180 = 979500 Λ=π=5, Ο=Σ=0
3 8β 26 x 13208 = 343408 Λ=Υ=4, Ι=Ο=0
4 10α 26 x 27194 = 707044 Λ=Υ=0, Ο=Σ=4
5 10β 26 x 27198 = 707148 Λ=Τ=1
6 11α 26 x 27584 = 717184 Ι=Ο=8
7 11α 26 x 27594 = 717444 Λ=Ο=Σ=4
8 11β 26 x 27598 = 717548 Λ=Τ=5
9 11γ 26 x 27580 = 717080 Λ=Σ=0, Ι=Ο=8
10 11γ 26 x 27590 = 717340 -> λύση
11 13α 27 x 13450 = 363150 Ι=Ο=5
12 13α 27 x 13480 = 363960 Ο=Υ=6
13 14β 27 x 14965 = 404055 Υ=Λ=0
14 14β 27 x 14985 = 404595 Τ=Ο=9
15 18 28 x 27410 = 767480 Λ=Τ=4
16 19α 29 x 13240 = 383960 Λ=π=9
17 20α 29 x 14630 = 424270 Λ=Υ=2
18 20α 29 x 14650 = 424850 Ι=Ο=5
19 20β 29 x 14635 = 424415 Κ=Λ=4
20 22α 29 x 27140 = 787060 Λ=Σ=0
21 22α 29 x 27150 = 787350 Ι=Ο=5
22 22α 29 x 27160 = 787640 Λ=Ι=6
23 22β 29 x 27145 = 787205 Λ=Α=2
24 22β 29 x 27165 = 787785 Κ=Λ=7
Έτσι, η λύση είναι:
ΑΚΤΙΣ 27590
x 2π --> x 26
- - - - - - - - - - - -
ΚΥΚΛΟΣ 717340
και δεν υπάρχει πουθενά το ψηφίο οκτώ!!
Για την ιστορία, παραθέτω και τις 3 λύσεις που
υπάρχουν, αν δεν τεθεί ο περιορισμός π>3:
A.25967 * 21 = 545307
B.25986 * 21 = 545706
C.27590 * 26 = 717340 (ζητούμενη)
Σωστά απάντησαν οι εξής (με σειρά αποστολής των
απαντήσεων):
George Papargiris
Panos
theofanis gkountras
(όλοι το βρήκαν με χρήση υπολογιστή, δνοντάς μου να
καταλάβω ότι, τέτοιου είδους ερωτήματα, μάλλον
απευθύνονται σε προγραμματιστές ή χρήστες μαθηματικών
προγραμμάτων...)
καλά να περνάτε...
Πάης
--
_______________________________________________________________
Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
https://anekdota.duckdns.org
___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________
- Next message: George Papargiris: "Το δηλτηριασμένο κρασί (επαναφορά του γρίφου)"
- Previous message: Vasso: "Κρικάκια (λύση)"
- Messages sorted by: [ date ] [ thread ] [ subject ] [ author ] [ attachment ]
- Mail actions: [ respond to this message ] [ mail a new topic ]