JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: Re: Quiz...Πρόβλημα πιθανοτήτων



(nil): George Papargiris (gpapargi(@)hotmail.com)
Ημερομηνία: Wed 20 Aug 2003 - 12:16:22 EEST

Γεια χαρά σε όλους

Πριν από οτιδήποτε να πω ότι η ερώτηση του Βαγγέλη είναι φαρμακερά εύστοχη.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα λέγεται παράδοξο του Bertrand. Η εκφώνηση είναι
αυτή που έδωσα στο προηγούμενο mail μου. Δίνονται 3 λύσεις που δείχνουν
σωστές. Τα βήματά τους δείχνουν εξίσου λογικά. Καταλήγουν όμως σε 3
διαφορετικά αποτελέσματα. Αυτό είναι και το παράδοξο. Παράδοξα όμως δεν
υπάρχουν. Σε τέτοιες καταστάσεις εμείς κάτι έχουμε κάνει στραβό.

Είχα στο πρόγραμμα να αφήσω τη λίστα να ασχοληθεί με το πρόβλημα και στη
συνέχεια (χωρίς να ανακοινώσω τους σωστούς) να στείλω ένα δεύτερο mail στο
οποίο θα ανέφερα τις 3 λύσεις και θα ζητούσα την εξήγηση στο γιατί ενώ
έχουμε 3 λύσεις που δείχνουν σωστές έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα. Αυτό θα
ήταν και το πραγματικό πρόβλημα. Θα οδηγούμασταν σταδιακά και άρα με πιο
κατανοητό τρόπο προς τη λύση.

Φυσικά μετά το mail του Βαγγέλη το πρόβλημα δεν υφίσταται πλέον. Ας δούμε
τις 3 λύσεις που μοιάζουν σωστές και ας εξηγήσουμε γιατί δίνουν άλλα
αποτελέσματα.

(Για να κεντρίσω λίγο το ενδιαφέρον θα πω προκαταβολικά ότι το συγκεκριμένο
πρόβλημα είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το πρόβλημα του μεγάλου παζαριού ή
αλλιώς του προβλήματος του Monty Hall. Αυτό όμως ας το ξεχάσουμε για την
ώρα)

Λύση 1 (σχεδόν όλοι αυτή τη λύση έδωσαν)

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,ρ). Φέρνουμε
μια τυχαία χορδή και την μετατοπίζουμε (διατηρώντας τα άκρα στον κύκλο)
κρατώντας σταθερό το μήκος της έτσι ώστε το ένα άκρο της να πέφτει πάνω στο
σημείο Α. Αν το άλλο άκρο βρίσκεται στα τόξο ΑΒ ή ΑΓ τότε το μήκος της
χορδής είναι μικρότερο από την πλευρά του τριγώνου. Αν βρίσκεται στο τόξο ΒΓ
τότε το μήκος της χορδής είναι μεγαλύτερο από την πλευρά του τριγώνου.
Από το σχήμα φαίνεται ότι είναι ισοπίθανο το να πέσει το δεύτερο άκρο της
χορδής στο τόξο ΑΒ ή ΒΓ ή ΑΓ και άρα η πιθανότητα που ζητάμε είναι 1/3.

Λύση 2 (δεν δόθηκε από κανέναν)

Μια χορδή ορίζεται με μοναδικό τρόπο από το μέσο της. Θεωρούμε το ισόπλευρο
τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,ρ). Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ.
Φέρνουμε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από το Μ. Αποδεικνύεται εύκολα
ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΟΜ είναι ρ/2. Μια χορδή που είναι μεγαλύτερη από την
πλευρά του τριγώνου θα έχει το μέσο της μέσα στον κύκλο με κέντρο Ο και
ακτίνα ΟΜ. Επειδή το εμβαδό αυτού του κύκλου είναι (πρ^2)/4 και το εμβαδό
του μεγάλου κύκλου είναι πρ^2 η πιθανότητα που ζητάμε είναι 1/4

Λύση 3 (Δόθηκε από έναν)

Δουλέυουμε πάλι με το μέσο της χορδής και με το ίδιο σχήμα με τη λύση 2.
Επειδή το μήκος του τμήματος ΟΜ είναι το μισό της ακτίνας ρ η πιθανότητα που
ζητάμε είναι 1/2

Όσο σωστό είναι το ένα σχήμα, τόσο σωστά είναι και τα άλλα.
Το πρόβλημα λοιπόν που σκόπευα να θέσω ήταν η εξήγηση του παραδόξου.

Ας δούμε τώρα την απάντηση. Συνοπτικά εμπεριέχεται μέσα στο mail του
Βαγγέλη αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Στην κλασσική θεωρία πιθανοτήτων υπάρχει μια αρχή που λέγεται “principle of
insufficient reason” ή “principle of indifference”. Η αρχή αυτή αποδίδεται
συνήθως στον Laplace ενώ πολλοί την αποδίδουν ακόμα παλαιότερα στον Leibniz.
Η αρχή αυτή λέει ότι αν σε ένα πείραμα τύχης δεν έχουμε στοιχεία για την
πιθανότητα που έχει κάποιο αποτέλεσμα να συμβεί τότε δίνουμε την ίδια
πιθανότητα σε όλα τα ενδεχόμενα. Σε μια ελεύθερη μετάφραση η αρχή αυτή θα
μπορούσε να λεχθεί σαν «αρχή της ανεπαρκούς αιτιολόγησης».
Ένα παράδειγμα είναι το εξής: έχουμε ένα ζάρι το οποίο δεν είναι δίκαιο. Το
ρίχνουμε. Ποια η πιθανότητα να έρθει άσσος; Σύμφωνα με την εν λόγω αρχή,
αφού δεν έχουμε κανένα δεδομένο η πιθανότητα είναι 1/6.

Αν και «αρχή» αυτή η πρόταση δεν είναι γενικά αποδεκτή γιατί οδηγεί σε
αντιφάσεις, όπως το συγκεκριμένο παράδειγμα του παραδόξου του Bertrand.
Ο λόγος για τον οποίο η πρόταση αυτή δεν είναι σωστή είναι ότι ΕΙΣΑΓΕΙ
ΔΕΔΟΜΕΝΑ και άρα αλλάζει το πρόβλημα.
Στην πρώτη λύση όταν γράφω «είναι ισοπίθανο το να πέσει το άλλο άκρο της
χορδής στο τόξο ΑΒ ή ΒΓ ή ΑΓ» εισάγω σιωπηλά το δεδομένο της ομοιόμορφης
κατανομής πάνω σε όλα τα σημεία του κύκλου.
Στη δεύτερη λύση όταν γράφω «το εμβαδό αυτού του κύκλου είναι (πρ^2)/4 και
το εμβαδό του μεγάλου κύκλου είναι πρ^2» εισάγω σιωπηλά το δεδομένο της
ομοιόμορφης κατανομής πάνω στα σημεία του κυκλικού δίσκου.

Στην τρίτη λύση όταν γράφω «το μήκος του τμήματος ΟΜ είναι το μισό της
ακτίνας ρ» εισάγω σιωπηλά το δεδομένο της ομοιόμορφης κατανομής πάνω στα
σημεία της ακτίνας.

Στις 3 λύσεις λοιπόν εισάγω διαφορετικά δεδομένα και εντελώς φυσιολογικά
καταλήγω σε διαφορετικα αποτελέσματα. Είναι δηλαδή σα να λύνω το ίδιο
πρόβλημα με άλλα νούμερα.

Το συμπέρασμα είναι ότι η “principle of insufficient reason” δεν είναι
σωστή και δεν μπορεί να εφαρμόζεται έτσι απλά. Τρομερό συμπέρασμα εν’ όψη
μεγάλου παζαριού!!!

Υπάρχει όμως και αντίλογος!

Υπάρχουν άνθρωποι πιο ειδικοί από εμάς που ισχυρίζονται ότι η «principle of
insufficient reason» δεν είναι καμμένο χαρτί. Λένε ότι αν και το
μαθηματικό/θεωρητικό μοντέλλο είναι ασαφές, όταν το πρόβλημα γίνει
συγκεκριμένο δημιουργήται κάποιος μηχανισμός αιτιότητας που εισάγει τα
στοιχεία που μας λείπουν. Δηλαδή εισάγουν την κανονική κατανομή πάνω στην
παράμετρο που πρέπει. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Έχουμε ένα ψεκαστήρι που
ρίχνει κυκλικές σταγόνες. Το μέγεθος τους κυμαίνεται από 0 μέχρι μια μέγιστη
τιμή ακτίνας ρ ή εμβαδού 2πρ. Για την ώρα υπάρχει η γνωστή ασάφεια στο αν η
μέση σταγόνα θα βασιστεί στη μέση ακτίνα (ρ/2) και θα έχει εμβαδό (πρ^2)/4 ή
θα βασιστεί στην μέση επιφάνεια και θα έχει εμβαδό πρ/2.
Αν όμως μας ρωτάνε 1000 σταγόνες τι μέρος του τοίχου (εμβαδού Ε) καλύπτουν,
τότε το πρόβλημα γίνεται συγκεκριμένο και είναι σαφές ότι πρέπει να
δουλέψουμε με εμβαδά και όχι με ακτίνες.
Ισχυρίζονται δηλαδή ότι το συγκεκριμένο φυσικό πρόβλημα εμπεριέχει τον
απαιτούμενο μηχανισμό αιτιότητας που θα δείξει με ποια παράμετρο θα
δουλέψουμε. Δεν λένε ότι δεν εισάγονται δεδομένα, λένε όμως ότι τα δεδομένα
τα εισάγει το πρόβλημα και όχι ο λύτης.
Αξιόλογη σκέψη θα έλεγα! Πάλι όμως αλλάζει το πρόβλημα.
Μάλιστα κάποιος Jaynes είπε ότι στο παράδοξο του Bertrand αν πετάξουμε
στάχια πάνω στον κύκλο τότε αυτή είναι μια τεχνική τυχαίας παραγωγής
χορδών. Έδειξε ότι στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να ισχύουν κάποιες
ιδιότητες και στη συνέχεια έδειξε ότι οι ιδιότητες αυτές ισχύουν μόνο για τη
λύση 3. Κάποιος Tyler έριξε στα αλήθεια 128 στάχια και πειραματικά
επιβεβαίωσε τον Jaynes. Κανείς τους όμως δεν ισχυρίστηκε όμως ότι έλυσε το
παράδοξο, ίσως γιατί αισθάνθηκε ότι έβαλε και αυτός δεδομένα στο πρόβλημα
(με το να υποδείξει πως παράγουμε τις τυχαίες χορδές). Με βάση αυτά που
είπαμε παραπάνω, αν το πρόβλημα γίνει συγκεκριμένο (πετάμε στάχια πάνω στον
κύκλο) τότε μπαίνουν τα δεδομένα που λείπουν.

Μέχρι εδώ ανέφερα απόψεις που είναι γνωστές από άλλους. Από εδώ και κάτω θα
πω μερικές δικές μου σκέψεις που αφορούν το πρόβλημα του μεγάλου παζαριού
(Monty Hall). Οπότε δεν είναι για να τις παίρνετε και πολύ στα σοβαρά :-))

Αν η συμπεριφορά του παρουσιαστή είναι καθορισμένη τότε το πρόβλημα είναι
ξεκάθαρο. Η λύση βρίσκεται σε πολλές σελίδες του internet.
Το ζητούμενο είναι τι κανουμε όταν δεν δίνεται ΚΑΝΕΝΑ στοιχείο.

Καταρχήν δέχομαι ότι η «principle of insufficient reason» εισάγει δεδομένα
και άρα αλλάζει το πρόβλημα.

Ποιο είναι όμως το ζητούμενο; Το να βρούμε ποια είναι η πιθανότητα νίκης σε
κάθε κουρτίνα ή το βρούμε ποια είναι η καλύτερη δυνατή επιλογή; Για μένα οι
2 ερωτήσεις δεν είναι οι ίδιες. Και στο μεγάλο παζάρι ζητάνε το δεύτερο.

Όταν μας ρωτάνε ποιο από τα πιθανά ενδεχόμενα θα διαλέγαμε σε ένα πείραμα
τύχης, αυτό που κάνουμε είναι υπολογίζουμε την πιθανότητα να συμβεί το κάθε
ενδεχόμενο και διαλέγουμε αυτό που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Τι
γίνεται όμως όταν δεν έχουμε τα στοιχεία για αυτόν τον υπολογισμό ΑΛΛΑ
ΕΙΜΑΣΤΕ ΥΠΟΧΡΕΩΜΕΝΟΙ να διαλέξουμε;
Για παράδειγμα μας λένε ότι αν μαντέψουμε το αποτέλεσμα ενος άδικου ζαριού,
θα μας δωθεί ένα όπλο με το οποίο μπορούμε να σκοτώσουμε ένα θηρίο που μας
πλησιάζει. Εδώ δεν έχει «δεν απαντώ γιατί δεν έχω τα στοιχεία». Το θηρίο
έρχεται. Στη χειρότερη ας πούμε ένα νούμερο στην τύχη. Τέτοιο είναι και το
πρόβλημα του μεγαλου παζαριού. Πρέπει να απαντήσουμε. Ακόμα κι αν δεν
αλλάξουμε την κουρτίνα ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΠΙΛΕΞΕΙ μια από τις 2 πιθανές
επιλογές: κρατάμε την αρχική κουρτίνα.

Εδώ πέρα λοιπόν αφού το να απαντήσουμε παίρνει μεγαλύτερη προτεραιότητα από
το να μην εισάγουμε νεα δεδομένα στο πρόβλημα, το μόνο που μας απομένει
είναι να εισάγουμε όσο το δυνατό πιο αντικειμενικά δεδομένα. Προφανώς δεν
μπορείς να εισάγεις το δεδομένο « ο παρουσιαστής είναι κακός» γιατί δεν
τηρεί ίσες αποστάσεις. Γιατί να μην είναι καλός;
Η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να μαζέψεις όλες τις πιθανές συμπεριφορές του
παρουσιαστή (άπειρες είναι) και εκεί πάνω να εφαρμόσεις την ομοιόμορφη
κατανομή. Γιατί την ομοιόμορφη και όχι κάποια άλλη; Μα γιατί μόνο αυτή είναι
αντικειμενική. Οι άλλες έχουν προτιμήσεις και εμείς δεν έχουμε στοιχεία για
κάτι τέτοιο. Έτσι συμφωνήσαμε τουλάχιστο.

Ένα άλλο ερώτημα που θα μπορούσε να τεθεί είναι το εξής: « Αν είναι να την
κάνουμε την αμαρτία και να εισάγουμε νέα δεδομένα στο πρόβλημα γιατί να μην
εφαρμόσουμε την ομοιόμορφη κατανομή πάνω στις 2 κουρτίνες και να πούμε 2
κουρτίνες άρα 50-50;»
Εδώ θα επικαλεστώ το μηχανισμό αιτιότητας που αναφέρω παραπάνω και είναι
μαλλον αποδεκτός από την επιστημονική κοινότητα. Αφού η αιτία των πάντων
είναι η συμπεριφορά του παρουσιαστή νομίζω ότι εκεί πρέπει να εφαρμοστεί η
ομοιόμορφη κατανομή και όχι στις 2 κουρτίνες.
Ανάλογα με τις κριτικές που θα ασκηθούν σκοπεύω σε κάποιο επόμενο mail να
προτείνω ένα μοντέλο που νομίζω ότι περιλαμβάνει όλες τις πιθανές
συμπεριφορές του παρουσιαστή.

Τώρα θα ήθελα να πω κάτι τελευταίο για την “principle of insufficient
reason”. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Έχουμε ένα νόμισμα άδικο και δεν ξέρουμε
ποια είναι η πιθανότητα κάποιας πλευράς.
Ερώτημα πρώτο: Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει κορώνα;
Προφανώς δεν έχουμε στοιχεία για να απαντήσουμε.
Ερώτημα δεύτερο: Αν πρέπει να διαλέξουμε υποχρεωτικά μια πλευρά τι θα
διαλέξουμε; Θα δείξουμε κάποια προτίμηση;
Προφανώς όχι. Δεν έχουμε στοιχεία για κάτι τέτοιο.
Ορίζω λοιπόν την «προτίμηση» ως εξής: Προτίμηση σε μια επιλογή είναι το
ποσοστό με το οποίο θα επιλέξω την συγκεκριμένη επιλογή αν διαλέξω άπειρες
φορές μεταξύ όλων των πιθανών επιλογών που έχω.
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα του νομίσματος η προτίμησή μου σε κάθε πλευρά
είναι 50%
Προσοχή, αν και δεν ξέρω ποια είναι η πιθανότητα να έρθει κορώνα, η
προτίμησή μου είναι συγκεκριμένη (50%).
Δηλαδή δεν εφαρμόζω την «principle of insufficient reason» πάνω στις
πιθανότητες να έρθει κάποια πλευρά (γιατί μου προκαλεί το συναίσθημα ότι
εισάγω δεδομένα και άρα αυθαιρετώ) αλλά πάνω στην προτίμησή που έχω στο να
διαλέξω κάποια πλευρά. Αυτό κάνει το ένστικτό μου να διαμαρτύρεται λιγότερο.
Προσέξτε τώρα το εξής:
Αν p η πιθανότητα να έρθει κορώνα και 1-p η πιθανότητα να έρθει γράμματα ΚΑΙ
εφαρμόσω την “principle of insufficient reason” πάνω στην προτίμηση (και όχι
πάνω στην πιθανότητα) τότε ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψω σωστά;
(1/2)*p+(1/2)*(1-p)=1/2!!!!
1/2 πιθανότητα ότι κι αν διαλέξω! Μα αν ότι κι αν διαλέξω έχει πιθανότητα
1/2 να κερδίσει, τότε η πιθανότητα κάθε πλευράς έγινε 1/2 για μένα που δεν
ξέρω κι ας είναι p στην πραγματικότητα (ή για κάποιον που ξέρει).
Φαίνεται σαν να αποδείχτηκε η αρχή μας (πάνω στις πιθανότητες) ξεκινώντας
από κάτι που μας κάνει να αντιδράμε λιγότερο: την ίδια την αρχή εφαρμοζόμενη
πάνω στην «προτίμηση».
Πάντως και εδώ εισάγουμε δεδομένα... αναπόφευκτα. Εισάγουμε το δεδομένο ότι
ο παίκτης δεν δείχνει κάποια προτίμηση σε κάποιο ενδεχόμενο (λειτουργει
δηλαδή κατά κάποιο τρόπο «ορθολογιστικά»). Αν ο παίκτης δε λειτουργεί έτσι
(γιατί πχ είναι παράλογος ή γιατί έτσι θέλει και δικαίωμά του) η πιθανότητα
να δεν είναι 50%, αλλά ούτε είναι ίδια με την προτίμηση.
Πάντως εμένα το να πω « Επειδή δεν ξέρω τι γίνεται η πιθανότητα κάθε μεριάς
είναι 50%» μου φαίνεται αυθαίρετο! Άγαρμπος τρόπος εισαγωγής δεδομένων.
Αν πω «Δεν ξέρω ποια είναι η πιθανότητα, αλλά επειδή δεν ξέρω τι γίνεται, δε
δείχνω κάποια προτίμηση και ΔΙΑΛΕΓΩ κάθε πλευρά με πιθανότητα 50% (δηλαδή
στις άπειρες ρίψεις τις μισές διαλέγω κορώνα και τις μισές γράμματα» μου
φαίνεται όχι απλά λογικό, αλλά το μόνο λογικό που μπορεί να γίνει. Κάθε άλλη
επιλογή θα πρέπει να συνοδευτεί από αιτιολόγηση (που βέβαια έχουμε
συμφωνήσει ότι δεν υπάρχει). Σαφώς πιο διακριτικός τρόπος εισαγωγής
δεδομένων.

Ένα σημαντικό λεπτό σημείο είναι το εξής: Αυτα που είπα μόλις για το νόμισμα
δείχνουν σωστά αλλά δεν μπορούν να εφαρμοστούν στο μεγάλο παζάρι. Κι αυτό
γιατί στο νόμισμα ο παίκτης εφαρμόζει την «principle of insufficient reason»
  πάνω στην προτίμησή του, αλλά στο παζάρι ΔΕΝ έχει αυτή τη δυνατότητα. Δε
στοιχηματίζει για τη συμπεριφορά του παρουσιαστή (έτσι ώστε να μη δείξει
κάποια προτίμηση και να εφαρμόσει την εν λόγω αρχή ), αλλά εισπράτει το
αποτέλεσμα του πειράματος τύχης που λέγεται «συμπεριφορά του παρουσιαστή».
Λεπτό αλλά σημαντικό!

Έτσι παραμετροποιώντας το πρόβλημα πάνω στον παρουσιαστή εισάγω δεδομένα με
τον άγαρμπο τρόπο και όχι με τον πιο «διακριτκό» που αναφέρω τελευταία. Άν
όμως είμαι υποχρεωμένος να απαντήσω πιστεύω ότι πρέπει να εισάγω τα πιο
αντικειμενικά δεδομένα. Και ο μηχανισμός αιτιότητας μου δείχνει ότι η
ομοιόμορφη κατανομή πρέπει να εφαρμοστεί πάνω στη συμπεριφορά του
παρουσιαστή.

Αυτά και από μένα για το μεγάλο παζάρι.

Όπως είπα τα τελευταία είναι προσωπικές απόψεις και τις διατυπώνω όπως πάντα
με κάθε επιφύλαξη. Ανάλογα με τις αντιδράσεις που θα προκαλέσουν τα όσα λέω
θα αποφασίσω για το αν θα στείλω ή όχι ένα μοντέλο που νομίζω ότι περιγράφει
τις άπειρες συμπεριφορές του παρουσιαστή και θα δίνει την εκτίμηση για το
μεγάλο παζάρι.

Περιμένω σκέψεις/σχόλια

Φιλικά

Γιώργος

>From: Vaggelis Kapoulas <kapoulas(@)cti.gr>
>To: "Quiz of the Day ..." <akis-quiz(@)ceid.upatras.gr>
>Subject: Re: Quiz...Πρόβλημα πιθανοτήτων
>Date: Mon, 18 Aug 2003 12:46:48 +0300
>
>
>Γεια και χαρά,
>
>Στέλνω την απορία μου στη λίστα και όχι με προσωπικό μήνυμα
>(παρόλο που απευθύνεται στον Γιώργο) γιατί νομίζω πως το
>ερώτημα μου (και φυσικά η απάντησή του) αφορά όλους
>
>Στο πρόβλημα αναφέρεται "Σχεδιάζουμε μια τυχαία χορδή", αλλά
>δεν δίνονται άλλες πληροφορίες για την κατανομή των πιθανοτήτων
>του τυχαίου αυτού γεγονότος.
>
>Ως εκ τούτου η εκφώνηση δεν είναι αρκετή για να δωθεί μοναδική
>απάντηση (κατά τη γνώμη μου, πάντα).
>
>Κα ερωτώ; Πως γίνεται ο τυχαίος σχεδιασμός; Μπορούμε να υποθέσουμε
>οτι διαλέγουμε με ομοιόμορφη κατανομή δύο τυχαία σημεία πάνω στην
>περιφέρεια του κύκλου (ανεξάρτητα μεταξύ τους) και σχεδιάζουμε
>τη χορδή που ορίζουν;
>
>Φιλικά,
>
>Βαγγέλης
>
>
>George Papargiris wrote:
> >
> > Γεια χαρά σε όλη τη λίστα
> >
> > Ας δούμε ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που -πιστέψτε με- είναι πιο σοβαρό από
>όσο
> > δείχνει.
> >
> > Έχουμε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R. Στον κύκλο είναι δυνατό να
> > εγγράψουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο (οι κορυφές του είναι σημεία του
>κύκλου).
> > Σχεδιάζουμε μια τυχαία χορδή.
> > Ποια η πιθανότητα η χορδή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του
> > εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου;
> >
> > Σημείωση: το πρόβλημα δεν είναι σε καμία περίπτωση γεωμετρικό. Έχει να
>κάνει
> > καθαρά με πιθανότητες.
> >
> > Φιλικά
> >
> > Γιώργος
>
>--
>
>ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Τα quiz στέλνονται στη λίστα. Oι απαντήσεις στέλνονται με
>ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ email σε αυτόν/ή που έστειλε το
>quiz και ΟΧΙ στη λίστα! Τέλος ... η λύση του quiz στέλνεται μετά απο λίγο
>καιρό (3-5) μέρες στη λίστα μαζί
>με τα ονόματα όσων βρήκαν τη σωστή απάντηση.
>
>
>_______________________________________________________________
>
> Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
> https://anekdota.duckdns.org
>
> ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
>_______________________________________________________________
>
>

_________________________________________________________________
Tired of spam? Get advanced junk mail protection with MSN 8.
http://join.msn.com/?page=features/junkmail

--
.
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου