JotD / QotD Ελληνική Λίστα Κουίζ (QotD)


Θέμα: microdeamon lysis



(nil): theofanis gkountras (fanisg(@)yahoo.com)
Ημερομηνία: Πεμ 10 Ιούλ 2003 - 23:38:14 EEST

Χαιρετω την λιστα,

Νομιζω ειναι πια καιρος να απαντησω στον γριφο που
εβαλα με το λοττο.
Το ερωτημα που μαλλον πρεπει να απαντησω πρωτο ειναι
Τί τελος παντων ζητουσα στις απαντησεις,
Ο γριφος οπως θα δουμε ηταν αρκετα πονηρος και ισως
ελαφρως ανεντιμος, αλλα ποιος ειπε πως οι γριφοι
πρεπει να ειναι παντα εντιμοι;
Αληθεια, δεν παραξενευτηκε κανεις που ζητουσα την
γνωμη του και οχι απαραιτητα μια καθαρη απαντηση;
Πρεπει ισως να ζητησω συγγνωμη που παιδεψα καποιους
χωρις πραγματικα να φταινε.
Περισσοτερο απο την ιδια την απαντηση ζητουσα
παρατηρησεις. (παρατηρησεις σχετικα με την διατυπωση
του προβληματος, την φυση του προβληματος ή οτι αλλο
του κατεβει του καθενος.) Το προβλημα εχει εμφανεις
ομοιοτητες με το μεγαλο παζαρι (γνωστο και ως Monty
Hall) προβλημα που ειχε δημοσιευτει στην λιστα οταν
εγω δεν ημουν εδω (στην λιστα). Στην πραγματικοτητα
ειναι εμπνευσμενο απο αυτο. Πρεπει να το ομολογησω
ηθελα να ξαναφερω το θεμα στην συζητηση.
Βεβαιως ειναι θεμα αρχης να διαχωριζω τις ορθες
απαντησεις απο τις λαθος, οπου λαθος ειναι αυτες που
περιεχουν λαθη.
Σωστα λοιπον με αυτην την εννοια (ανεξαρτητως αν
δηλαδη θεωρω οτι απαντησαν το προβλημα που εθεσα)
ειναι αυτα που εγραψαν οι,

"Markouizos Antonis"
"Fanurgakis Manolis"
"Sofia"
"Skouteris Dimitris"
"Vaggelis Kapoulas"
"George Papargiris"
"Mirela Dalla"
"Michael Masouras"

 αυτοι υπολογισαν οτι οι πιθανοτητες ειναι
1/Ν η εξαδα του Ατυχου και 1-1/Ν η εξαδα του δαιμονα
αφου Ν=49!/(43!6!)=13983816
θεωρησαν πως η εξαδα του δαιμονα ειναι προτιμοτερη.
Αλλοι με πολυ καλη αναλυση και αλλοι με λιγοτερο καλη.
Θα διαφωνισω με αυτο, σε λιγο θα δουμε πως και γιατι.
Βεβαιως καποιοι απο αυτους εδειξαν και οτι αυτη η
πιθανοτητα μπορει να μην ισχυει και επομενως θα δουνε
το ονομα τους ξανα παρακατω.

Τωρα πρεπει να πω οτι συνολικα ελαβα μεγαλο πληθος
γραμματων
(εκ των υστερων αναλογιζομενος ισως δεν ειναι και τοσο
πολλα, μονο τρεις δεκαδες)
παρα πολυς κοσμος εκανε το παρακατω ΛΑΘΟΣ:
ειπαν τωρα εχουμε δυο επιλογες αρα η πιθανοτητα ειναι
1/2 για την καθε μια.
Αυτο ειναι λαθος βεβαια να λεγεται ετσι απλα.
Ας δουμε εν συντομια γιατι.
Το προφανες που πρεπει να πω ειναι οτι τα ενδεχομενα
δεν ειναι παντα ισοπιθανα,
Παρτε ενα κερμα και λυγιστε το. τωρα θεωρητε πως το
ενδεχομενο κορωνα ειναι ισοπιθανο με τα γραμματα. Οχι
βεβαια. Ειναι προφανες οτι τα ενδεχομενα δεν ειναι
παντα ισοπιθανα.
Καποιοι αντετειναν οτι ξερουμε απο την αρχη οτι αυτες
οι πιθανοτητες ειναι ισοπιθανες. Αυτο ειναι επισης
λαθος. Θεωρουμε στην αρχη τις εξαδες ισοπιθανες γιατι
τις θεωρουμε απολυτα συμμετρικες. (καθε μπαλακι
φαινεται απολυτα ομοιο με καθε αλλο)
Τωρα πια αυτη η συμμετρια φαινεται να εχει χαθει,
γιατι η μια εξαδα ειναι αυτη που επελεξε τυχαια ο
Ατυχος ενω η αλλη ειναι μια εξαδα που του εδωσε ο
δαιμων οπως φαινεται καθολου τυχαια, αφου γνωριζει
πραγματα που αγνοουν οι θνητοι.

Ας παρουμε μια γευση γιατι η προταση {1/Ν , 1-1/Ν}
μπορει να ειναι λαθος.
Παραθετω την παρακατω απολυτα σωστη απαντηση

"Zamponidis Arhontis"
Είναι προφανές πως ένας δαίμονας δεν θα έκανε μια
τέτοια κίνηση εάν δεν
είχε κάποιο απώτερο σκοπό.

Επομένως, εάν ήμουν στη θέση του κ. Άτυχου,
σκεπτόμενος πως "γιατί ήρθε
ο δαίμονας σε εμένα και τι θέλει?" θα καταλάβαινα πως
ήρθε να με
παραπλανήσει, να παίξει μαζί μου και να "γελάσει" εις
βάρος μου. Γιατί
ήρθε όμως τώρα? Μήπως γιατί η εξάδα που επέλεξα είναι
πράγματι η σωστή?
Και μου έδωσε μια άλλη για να τινάξω τα μυαλά μου στον
αέρα όταν δω ότι
επέλεξα την δική του (λάθος εξάδα) για να παίξω? ;))

Επομένως θα διάλεγα την αρχικώς επιλεγμένη από εμένα
και όχι του
δαίμονα...

Ένα δεύτερο σκεπτικό που ενισχύει αυτή την άποψη είναι
πως ο δαίμονας
δεν ζήτησε κάποιο αντάλλαγμα για την "καλή του πράξη",
ως είθισται
άλλωστε...

=;P

 Αυτη η απαντηση ηταν μοναδικη στο ειδος της και τωρα
φαινεται γιατι το προβλημα ηταν ανεντιμο, οτι υπαρχει
παγιδα η οποια ηθελα να τονιστει, και υποψιαζομαστε
περιπου ποιες ηταν οι παρατηρησεις που ηθελα να
γραφτουν. Με οσους ειχαν την ατυχη εμπνευση να
αναφερουν το Monty Hall θα ηθελα να ημουν αυστηροτερος
καθως περιμενα και μια συγκριση των προβληματων.
Ας δουμε τωρα ποιοι εκαναν καποιες κατα την αποψη μου
σημαντικες παρατηρησεις οι οποιες οπως εκ των υστερων
δηλωσα ηταν περισσοτερο το ζητουμενο:

"Zamponidis Arhontis"
"Sofia"
"Skouteris Dimitris"
"Vaggelis Kapoulas"
"Of dream and drama..."
"George Papargiris"
"Giorgos Pallas"

(η κυριαρχη παρατηρηση ηταν οτι πρεπει να ξεκαθαριστει
αν ο δαιμων ειναι καλος ή κακος.)

πρεπει εδω να προειδοποιησω οτι το γραμμα θα ειναι
ακομα μακρυ, αν καποιος βαριεται μπορει τωρα να
σταματησει. Η συνεχεια ειναι για τους περιεργους και
για οσους νομιζουν πως θα αντικρουσουν τα λεγομενα
μου.
(πιστευω πως ειναι προτιμοτερο για τη λιστα ενα
μακροσκελαστατο γραμμα παρα ενα mailbomb.)

οπως ειπα ηθελα να επαναφερω στην συζητηση το προβλημα
Monty Hall. Πιθανως θα ηταν απλουστερο να εβαζα ενα
απλο προβλημα δεσμευμενης πιθανοτητας (θα γραψω στο
τελος καποια πραγματα για το θεμα αυτο) οπως πχ το
εξης.
Δυο φιλοι παιζουν ταβλι με δυο κανονικα ζαρια. Ο ενας
ριχνει τα ζαρια αλλα πεφτουν κατω απο το τραπεζι χωρις
να τα δει. Σκυβει ο αλλος και τα βλεπει και τα δυο. Ο
πρωτος του ζητα να απαντησει με ναι ή οχι αν εχει
φερει τουλαχιστον ενα εξι και ο αλλος του απαντα ναι.
Ποια η πιθανοτητα να εχει φερει εξαρες;

Η σωστη απαντηση ειναι 1/11.
(παρατηρηστε οτι ειμαι σχεδον αρρωστος με την
διατυπωση. Για να δειξω την σημασια της προτιμησα να
βαλω ενα προβλημα με παγιδα. Επιπλεον ενα τετοιο
προβλημα (οπως αυτο με τα ζαρια) εγω δεν θα το
θεωρουσα ακριβως γριφο. Μοιαζει περισσοτερο με
ασκηση.)

Για να εχουμε κατι να σχολιαζουμε θα παραθεσω ακομα
την πρωτη απαντηση του Σκουτερη η οποια ειναι
πραγματικα παρα πολυ καλη

"Skouteris Dimitris"
Kalhmera Theofanh (h Fanh) !

> th nyxta omws emfanizetai enas daimonas kai toy
> apokalyptei oti h tyxerh ejada einai h h ejada poy
> epeleje o A h kapoia allh thn opoia toy thn dinei.
> Dexomaste oti o daimonas leei pragmati thn alh8eia.

> eseis pia ejada 8a epilegate sthn 8esh toy;
> pia pisteyete pws einai h pi8anothta na kerdisei
ayth
> thn fora;

Mmmm... Pro kairou phge na pesei 3ulo sth lista me ena
paromoio
provlhma,
kuriws logw asafwn orismwn, opote as 3eka0arisoume
merika pragmata.

- H pi0anothta einai to anamenomeno pososto twn
epituxiwn ka0ws o
ari0mos
twn prospa0eiwn teinei sto apeiro.

- Den exei shmasia an o k. Atuxos exei 'agaphmenes'
e3ades, tis opoies
protima pio polu na paizei apo tis upoloipes. Omws o
k. Atuxos exei
pi0anothta 1/N na epile3ei th swsth e3ada.

- An o k. Atuxos epile3ei esfalmenh e3ada, o daimonas
tou proteinei
anamesa sth dikh tou (tou k. Atuxou) kai th swsth.

- An o k. Atuxos epile3ei th swsth e3ada, o daimonas
epilegei mia apo
tis
upoloipes kai tou th servirei mazi me th dikh tou, th
swsth.

S' auth thn periptwsh, h pi0anothta tou k. Atuxou na
kerdisei me thn
allagh einai :

(A0roisma gia oles tis e3ades k) p(k) * ((N-1)/N * 1 +
1/N * 0) =
(N-1)/N

p(k) : H pi0anothta tou k. Atuxou na epile3ei thn
e3ada k

(N-1)/N * 1 : H pi0anothta na epele3e esfalmenh e3ada,
pou akolou0eitai
apo sigouro kerdos me thn allagh.

1/N * 0 : H pi0anothta na epele3e th swsth e3ada, pou
akolou0eitai apo
sigourh apwleia me thn allagh.

Ara o k. Atuxos exei pi0anothta (N-1)/N, dhladh sxedon
1, na kerdisei
paizontas sumfwna me thn upodei3h tou daimona. Ton
sumferei opwsdhpote.

Kala na pernas,

Dimitris

Ο Δημητρης λοιπον κανει καποιες παραδοχες και στην
συνεχεα λυνει (πολυ σωστα) το ξεκαθαρο πια προβλημα.
Η δευτερη παραδοχη κατα την γνωμη μου δεν χρειαζοταν.
Ειχα φροντισει εγω απο την εκφωνιση να ξεκαθαρισω πως
η πιθανοτητα ειναι 1/Ν να κερδισει η οποια εξαδα.
Πρεπει να ειναι κανεις ελαφρως διεστραμενος για να
σκεφτει οτι αυτο ισχυει για μας μονο \και οχι για τον
Ατυχο. Ειπαμε με την ακριβεια στην διατυπωση αλλα απο
ενα σημειο και περα θα καταντησει αηδια.
Η τριτη και τεταρτη παραδοχη εχουν να κανουν με τον
τροπο που λειτουργει ο δαιμων. Ειναι προφανες οτι εγω
δεν εθεσα τετοιες παραδοχες και κατα την γνωμη μου δεν
ειναι καθολου ευλογες.
Βασει αυτων ειναι πραγματι σωστος. Απλα λυνει ενα αλλο
προβλημα.

Εγω ομως θα προχωρισω λιγο παραπερα (στον γκρεμο ας
πουμε) και θα κανω κατι που μοιαζει να αντιστρατευεται
την λογικη θα διαφωνισω με την πρωτη παραδοχη!

- H pi0anothta einai to anamenomeno pososto twn
epituxiwn ka0ws o
ari0mos twn prospa0eiwn teinei sto apeiro.

Πριν επιχειρηματολογησω εναντια σε αυτην την τοσο
ευλογη προταση θα πω κατι ασχετο, σχετικο μονο με τις
δικες μου προσωπικες προτιμησεις. Εγω προτιμω να
δεχομαι την πιθανοτητα αξιωματικα, αυτη η προταση
μπορει να αποδειχτει. Πρακτικα δεν εχει σημαντικη
διαφορα απλως η δικη μου προτιμηση μου φαινεται
περισσοτερο ευθεια. η διαφορα ειναι σαν να απορριπτεις
ενα αξιωμα του ευκλειδη και στην θεση του να δεχεσαι
ενα ισοδυναμο θεωρημα. Το πρακτικο νοημα ειναι οτι
γλιτωνεις ετσι απο την αποδειξη του θεωρηματος. Στην
πραξη ετσι οπως το θετει ο Δημητρης τα πραγματα ειναι
πολυ απλουστερα και εξισου αυστηρα.
Φυσικα ολα αυτα δεν εχουν σχεση με την διαφωνια που θα
εκφρασω και θα ξεκινησω με το ακολουθο παραδειγμα.

Παιζουμε το γνωστο παιχνιδι "εδω παππας εκει παππας
που ειν ο παππας;"
Μας λεει λοιπον ο παππατζης "εδω παππας εκει παππας
που ειν ο παππας;" και καλουμαστε να τον εντοπισουμε.
Βλεπουμε το πισω μερος τριων τραπουλοχαρτων φαινονται
και τα τρια ομοια. Τι πιθανοτητα θα δωσουμε στο
καθενα;
Πιστευω πως ολοι θα συμφωνισουν οτι ειναι 1/3.
Ωραια, τωρα εφαρμοζουμε τον ορισμο του Δημητρη.
Σηκωνουμε το αριστερο και τυχαινει να ειναι ο παππας.
Το βαζουμε ξανα στην θεση του και το ξανασηκωνουμε,
(χωρις να ανακατεψει ο παππατζης)
φυσικα ειναι παλι παππας.
Επαναλαμβανουμε την διαδικασια οσες φορες επιθυμουμε
για να πειστουμε οτι συμφωνα με τον ορισμο του Δημητρη
η πιθανοτητα στην πραγματικοτητα ηταν 1 να ειναι το
αριστερο και 0 να ειναι το μεσαιο ή το δεξι. Υποθετω
οτι τωρα πολλοι διαμαρτυρονται λεγοντας οτι θα πρεπει
να βαλουμε τον παππατζη να ξαναανακατεψει. Προσωπικα
αυτο εγω δεν το βλεπω οτι ειναι καθολου προφανες.
Επιπλεον σκεφτειτε το εξης. Αν εσεις δεν ξερετε που
ειναι ο παππας, και ειναι ευλογο να θεωρησετε την
πιθανοτητα 1/3 για καθε χαρτι, ο παππατζης ομως ξερει,
για αυτον η πιθανοτητα ειναι 1 να ειναι στο αριστερο.
Βλεπουμε λοιπον οτι η πιθανοτητα ειναι υποκειμενικης
φυσεως μερικες φορες. Σκεφτειτε ακομα και αυτο, ο
παππατζης μπορει να τα ανακατευει εχοντας προτιμηση να
αφηνει τον παππα στα αριστερα, αυτο εμεις στην αρχη
δεν το ξερουμε. Ο ορισμος της πιθανοτητας ως οριο της
σχετικης συχνοτητας ειναι ενας ωραιος, βολικος και το
σημαντικοτερο απολυτα αντικειμενικος ορισμος αυτης της
νεφελωδους εννοιας. Το μειονεκτημα του ορισμου ειναι
οτι λειτουργει μονο σε πειραματα που μπορει να
επαναλαμβανονται κατω απο τις ιδιες συνθηκες. συχνα
ειναι αδυνατο να εκτελεσεις ενα πειραμα πολλες φορες,
ή ειναι το εκτελεσεις χωρις να το αλοιωσεις. Πχ στην
περιπτωση του δαιμονα δεν ειναι καθολου προφανες πως
θα μπορουσαμε να καλεσουμε τον δαιμονα να εμφανιστει
ξανα. Αντιθετα το μαγαλο παζαρι (Monty Hall) ειναι ενα
παιχνιδι που παιζεται καθε μερα και εχουμε την ευκερια
να το παρακολουθουμε στην τηλεωραση, αυτο ειναι
επαναληψημο. Μπρουμε ομως να λειτουργισουμε ομως με
μια υποκειμενικη εννοια της πιθανοτητας, πχ θεωρουμε
πως τα τρια τραπουλοχαρτα ειναι ισοπιθανα (για τον
απλο λογο οτι δεν εχουμε κανενα λογο να διακρινουμε
καποιο απο τα υπολοιπα) και η πιθανοτητα για το καθενα
βασει των προσωπικων μας εμπειριων και πιστευω ειναι
1/3. Καποιοι ισως σκεφτουν πως στην πραγματικοτητα
μονο υποκειμενικη πιθανοτητα υπαρχει, η
"αντικειμενικη" πιθανοτητα ειναι μονο ενα ιδεατο
κατασκευασμα και πως η πιθανοτητα εξαρταται μονο απο
την αγνοια του υποκειμενου. Θελω να βεβαιωσω πως μια
τετοια αντιληψη ειναι ακραια. δεν θα διαπλασιασω τον
ογκο του γραμματος για να εξηγησω γιατι, αλλα πρεπει
να θεωρηθει λαθος. (αν καποιος θελει να διαβασει
περισσοτερα για το θεμα του προτεινω το βιβλιο
"Κβαντομηχανική: πλάνη ή πραγματικότητα")

Επιστρεφουμε στο θεμα της υποκειμενικης πιθανοτητας.
Ο Βαγγελης Καπουλας το ειδε το θεμα αρνητικα:

Αν δεν είναι γνωστοί οι κανόνες που διέπουν τη
συμπεριφορά
του δαίμονα, τότε το πρόβλημα δεν δίνει αρκετά
στοιχεία για
τη λύση του. Σε μια τέτοια περίπτωση κάθε λύση μπορεί
να
αποδειχθεί λάθος.

Εγω προτιμω να το βλεπω θετικα,
Οποιαδηποτε λυση μπορει να θεωρηθει σωστη!

Σημειωνω εδω πως αν γνωριζουμε την συμπεριφορα του
δαιμονα το προβλημα αποκτα αμεσως επαναληψιμοτητα.

Παμε τωρα να δουμε ξανα το προβλημα του Μεγαλου
Παζαριου.
Σε αυτο το τηλεπαιχνιδι εχουμε τρεις κουρτινες, πισω
απο την μια (με ιδιες σχετικες συχνοτητες) βρισκεται
το μεγαλο δωρο του παιχνιδιου, οι δυο αλλες κρυβουν
ζονκ που σημαινουν αποτυχια. Ο παικτης επιλεγει μια
κουρτινα. Ο παρουσιαστης Μικρουτσικος ανοιγει μια απο
τις αλλες και του δινει την δυνατοτητα να ξαναεπιλεξει
μεταξυ των δυο που απομενουν.
Θα κατασκευασω τωρα τρεις καρικατουρες Μικρουτσικου.
α) κακος Μικρουτσικος
αυτος οποτε ο παικτης επιλεγει κουρτινα ζονκ, του
ανοιγει το αυτοκινητο προκαλωντας ετσι αμεσα την ηττα
του παικτη. Παρατηρηστε πως ο παικτης που θα του
ανοιχτει ζονκ μπορει να ειναι βεβαιος οτι επελεξε το
αυτοκινητο.
β) τυχαιος Μικρουτσικος
ανοιγει μια απο τις αλλες κουρτινες τυχαια
αδιαφορωντας αν ειναι δωρο ή ζονκ. Παρατηρηστε πως με
δεδομενο οτι ο παικτης επελεξε το δωρο ειναι βεβαιο
οτι ο Μικρουτσικος θα ανοιξει ζονκ ενω με δεδομενο οτι
επελεξε ζονκ η πιθανοτητα ειναι 1/2 να ανοιξει ο
Μικρουτσικος ζονκ και 1/2 το δωρο.
Αν τα βαλετε κατω και τα μετρησετε θα δειτε πως για
των παικτη και οι δυο εναπομεινουσες κουρτινες εχουν
την ιδια πιθανοτητα για τον παικτη να ειναι ζονκ.
γ) καλος Μικρουσικος
Αυτος ανοιγει παντα ζονκ.
Παρατηρηστε πως ο παικτης σε σχεση με την κουρτινα που
επελεξε αρχικα δεν εχει μαθει τιποτα αφου ειτε απελεγε
δωρο ειτε ζονκ θα συνεβαινε το ιδιο πραγμα (θα
ανοιγοταν ζονκ επομενως διατηρει την πεποιθηση του οτι
η κουρτινα του εχει πιθανοτητα 1/3, η αλλη κουρτινα
καρπονεται τα υπολοιπα 2/3. (αν θελετε ξαναδειτε το
γραμμα του Σκουτερη)
Επισης εχουμε δυο καρικατουρες παικτων
1) τυχαιος παικτης
οταν βρεθει μεταξυ δυο επιλογων επιλεγει τυχαια με
πιθανοτητα 1/2
2) καλος παικτης
επιλεγει βασει αντικειμενικων κριτηριων την καλυτερη
στρατιγικη.
 
Μπορουμε τωρα να κατασκευασουμε τον παρακατω πινακα με
τις πιθανοτητες που εχουν οι παικτες να κερδισουν το
δωρο (οπως ειναι πριν ξεκινησει το παιχνιδι)
 
        1 2 στρατηγικη
α 1/6 1/3 διατηρει την επιλογη
β 1/3 1/3 -
γ 1/2 2/3 αλλαζει κουρτινα

βλεπουμε οτι ο καλος παικτης αξιοποιωντας την γνωση
της συμπεριφορας του Μικρουτσικου μπορει και διατηρει
1/3 την πιθανοτητα του να κερδισει με "αμυντικη"
στρατηγικη οταν ο Μικρουτσικος ειναι κακος, και να
αυξανει περισσοτερο απο τον τυχαιο την πιθανοτητα του
να καρδισει οταν ο Μικρουτσικος ειναι καλος με
"επιθετικη" στρατηγικη. Αυτο ειναι ενα αντικειμενικο
πλεονεκτημα πυ εχει ο καλος παικτης.

Πισω στο προβλημα του δαιμονα ο καθενας μπορει να
δωσει τις πιαθανοτητες που θελει αναλογα με το σε τι
πιστευει.
Καποιος που πιστευει σε καλους δαιμονες θα θεωρησει
πως η εξαδα του δαιμονα ειναι πιθανοτερη.
Καποιος που πιστευει σε κακους δαιμονες ("Zamponidis
Arhontis") θα θεωρησει πως η δικη του ειναι
πιθανοτερη.
Εγω που δεν πιστευω σε καλους και κακους δαιμονες
πιστευω οτι οι πιθανοτητες ειναι ισες. (σκεφτειτε το
ως εξεις, θεωρω πως και οι δυο εξαδες ειναι δωσμενες
απο τον δαιμονα και το γεγονος οτι την ειχα επιλεξει
ειναι ανεξαρτητη συμπτωση. Η συμμετρια τωρα
επανερχεται και εχουμε ισοπιθανα ενδεχομενα)
Υποθετω πως ισως υπαρχουν και αυτοι που πιστευουν πως
οι δαιμονες ειναι πραγματικα κακα οντα που
επιρεαζουντις κληρωσεις ετσι ωστε να μην κερδιζουν
ποτε.

Θα τελειωσω με ολιγα μαθηματικα.

Οναμαζω Ω τον δειγματοχωρο το συνολο ολων των δυνατων
αποτελεσματων ενος πειραματος.
Καθε δυνατο αποτελεσμα ή συλλογη δυνατων αποτελεσματων
λεγεται γεγονος.
(τα δυνατα αποτελεσματα λεγονται απλα γεγονοτα και οι
συλλογες συνθετα γεγονοτα)
Πραξεις
Γ=Α+Β τουλαχιστον ενα απο τα Α ή Β συμβαινει.
(κανονικα υπαρχει ειδικο συμβολο αλλα δεν το εχω
προχειρο)
Γ=Α*Β συμβαινει και το Α και το Β.
Γ=!Α δεν συμβαινει το Α.
Οταν Α*Β= 0 (κενο) Α,Β λεγονται ασυμβιβαστα
Πχ !Α*Α=0

Ως ορισμοι της πιθανοτητας εχουν δοθει πολλοι
Μερικοι απο τους οποιους ειναι
α) Η πιθανοτητα σαν οριο της σχετικης συχνοτητας.
β) Ο αξιωματικος ορισμος της πιθανοτητας.
γ) Η υποκειμενικη πιθανοτητα

οι πιθανοτητες ικανοποιουν τους παρακατω νομους
0<=Ρ(Α)<=1 ( <= μικροτρο ή ισο)
Ρ(Ω)=1
Ρ(Α+Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) αν Α,Β ασυμβιβαστα

Γενικοτερα Ρ(Α+Β)= Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α*Β)

Δεσμευμενη πιθανοτητα
Ρ(Β|Α)=Ρ(Α*Β)/Ρ(Α)

Ειναι η πιθανοτητα του Β με δεδομενο το Α
Οταν Ρ(Β|Α)=Ρ(Β) τα Α,Β λεγονται στοχαστικα
ανεξαρτητα.
Για τα ανεξαρτητα Ρ(Α*Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β)
(πχ η πιθανοτητα να φερει το δευτερο ζαρι 6 ειναι 1/6
ανεξαρτητα αν το πρωτο εφερε 6 και επομενος ειναι
ανεξαρτητα)
στο παραδειγμα με τα ζαρια που ειχα δωσει αρκετα
πρωτυτερα
εχουμε Β το ενδεχομενο φερνουμε εξαρες
Ρ(Β)=1/36
Α το ενδεχομενο να εχουμε φερει ενα τουλαχιστον εξι
Ρ(Α)=1-(5/6)^2=11/36
Οποτε Ρ(Β|Α)= Ρ(Α*Β)/Ρ(Α)=(1/36)/(11/36)=1/11 οπως
ειχα πει.

Απο τα παραπανω μπορει να ποδειχτει ο τυπος του Bayes
Ρ(Α|Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β|Α)/( Ρ(Α)*Ρ(Β|Α)+Ρ(!Α)*Ρ(Β|!Α) )

Τελειωσα !
Ειμαι περιεργος αν θα διαφωνισει καποιος που θα
διαβασει ολα αυτα.
(εκανα το χρεος μου να αποτρεψω το Mailbomb οσο
γινεται)

(μην ανησυχειτε θα προσπθησω να αποφυγω αντιστοιχα
μεγαλα γραμματα στο μελλον ή αλλους ανεντιμους
γριφους)

__________________________________
Do you Yahoo!?
SBC Yahoo! DSL - Now only $29.95 per month!
http://sbc.yahoo.com

--
.
_______________________________________________________________
      Quiz of the Day ... Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές
             https://anekdota.duckdns.org
        ___ Η QotD βγαίνει σε Ελληνικά και Greeklish ___
_______________________________________________________________

Γραφτείτε και εσείς στην Ελληνική Λίστα με σπαζοκεφαλιές (QotD) και στείλτε τα κουίζ σας!!!

Επιστροφή στον κεντρικό κατάλογο αυτού του αρχείου